Se z = (1 + √3i)/(1−√3i)10, então o valor de 2 arcsen(Re(z)) + 5 arctg(2Im(z)) é igual a (a) −2π/3. (b) −π/3. (c) 2π/3. (d) 4π/3. (e) 5π/3.

Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar o valor de z. Começamos multiplicando o numerador e o denominador por seus conjugados complexos, para eliminar os denominadores imaginários: (1 + √3i)/(1−√3i) * (1+√3i)/(1+√3i) = (1 + 2√3i - 3)/(1 + 3) = (-2 + 2√3i)/4 = (-1 + √3i)/2 Agora que temos o valor de z, podemos calcular Re(z) e Im(z): Re(z) = -1/2 Im(z) = √3/2 Substituindo esses valores na expressão 2 arcsen(Re(z)) + 5 arctg(2Im(z)), temos: 2 arcsen(-1/2) + 5 arctg(2√3/2) = 2 (-π/6) + 5 (π/3) = -π/3 + 5π/3 = 4π/3 Portanto, a alternativa correta é a letra (d) 4π/3.