Seja � um número real positivo e considere as funções afins ( ) = � + 3� e ( ) = 9− 2 , definidas para todo número real . a ) Encontre o número de...

a) Para encontrar o número de soluções inteiras da inequação (f(x))(g(x)) > 0, precisamos analisar os sinais de f(x) e g(x) em cada intervalo determinado pelos seus pontos críticos. Temos que f(x) = ax + b, onde a = α + 3 e b = 0, e g(x) = cx + d, onde c = -2 e d = 9. Os pontos críticos são as raízes das funções, que são x = -b/a e x = -d/c. Substituindo os valores, temos x = 0 e x = 4,5. Agora, vamos analisar os sinais de f(x) e g(x) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos: - Para x < 0, f(x) e g(x) são negativos, portanto o produto é positivo. - Para 0 < x < 4,5, f(x) é positivo e g(x) é negativo, portanto o produto é negativo. - Para x > 4,5, f(x) e g(x) são positivos, portanto o produto é positivo. Assim, a inequação (f(x))(g(x)) > 0 é satisfeita para x < 0 e x > 4,5. Portanto, existem duas soluções inteiras: x = -1 e x = 5. b) Para que (f(g(x))) = (g(f(x))) para todo x real, precisamos ter f(g(x)) = g(f(x)). Substituindo as funções, temos: α - 2(α + 3x) + 9 = -2x + 3(α + 3x) + 9 Resolvendo para α, encontramos: α = -x - 3 Portanto, o valor de α que satisfaz a igualdade é α = -x - 3.