11. (UNICAMP - 2015) Seja � um número real positivo e considere as funções afins ( ) = � + 3� e ( ) = 9− 2 , definidas para todo número real . a ) ...

a) Para encontrar o número de soluções inteiras da inequação (f(x))(g(x)) > 0, precisamos analisar os sinais de f(x) e g(x) em cada intervalo determinado pelos seus pontos críticos. Temos que f(x) = ax + b, onde a = α + 3 e b = 0, e g(x) = -2x + 9. Os pontos críticos são as raízes das funções, que são x = -b/a = -3/α e x = 9/2. Podemos dividir a reta real em três intervalos: (-∞, -3/α), (-3/α, 9/2) e (9/2, ∞). Em cada intervalo, podemos determinar o sinal de f(x) e g(x) e, consequentemente, o sinal de (f(x))(g(x)). Assim, temos: - Para x < -3/α, f(x) e g(x) são negativos, portanto (f(x))(g(x)) é positivo. - Para -3/α < x < 9/2, f(x) é positivo e g(x) é negativo, portanto (f(x))(g(x)) é negativo. - Para x > 9/2, f(x) e g(x) são positivos, portanto (f(x))(g(x)) é positivo. Logo, a inequação (f(x))(g(x)) > 0 é satisfeita nos intervalos (-∞, -3/α) e (9/2, ∞). Portanto, o número de soluções inteiras é 2. b) Para que (f(g(x))) = (g(f(x))) para todo x real, precisamos ter f(g(x)) = g(f(x)). Substituindo as funções dadas, temos: α - 2g(x) + 9 = a(9 - 2x) + b α - 2(α + 3x) + 9 = a(9 - 2g(x)) + b Simplificando, temos: -2α - 6x + 9 = -2ag(x) + 9a + b -2α - 6g(x) + 9 = -2aα - 6ax + 9a + b Igualando as expressões para g(x), temos: -2α - 6x + 9 = -2a(9 - 2x) + b -2α - 6(α + 3x) + 9 = -2aα - 6ax + 9a + b Simplificando, temos: -8α - 12x + 9 = -18a + 2ax + b -8α - 18x + 9 = -2aα - 12ax + 9a + b Igualando os coeficientes de x, temos: -12 = 2a -18 = -12a Resolvendo o sistema, encontramos a = -6 e α = 2. Portanto, o valor de α é 2.