19. (UNESP – 2012 meio de ano) No conjunto IR dos números reais, o conjunto solução S da inequação modular |x|.|x – | ≥ 6 é: a ) S = {x ∈ IR / ...

Para resolver a inequação modular |x|.|x – | ≥ 6, podemos utilizar a técnica de separação de intervalos. 1) Quando x ≥ 0, a inequação se torna: x(x - |x|) ≥ 6, que pode ser simplificada para x² - x|x| - 6 ≥ 0. Resolvendo a equação do segundo grau x² - x|x| - 6 = 0, encontramos as raízes x = -2 e x = 3. Assim, temos duas possibilidades: - Quando 0 ≤ x < 2, temos x - x² ≥ 6, o que não é verdadeiro para nenhum x nesse intervalo. - Quando 2 ≤ x ≤ 3, temos x² - x² ≥ 6, o que é verdadeiro para todo x nesse intervalo. 2) Quando x < 0, a inequação se torna: -x(x + |x|) ≥ 6, que pode ser simplificada para x² + x|x| - 6 ≤ 0. Resolvendo a equação do segundo grau x² + x|x| - 6 = 0, encontramos as raízes x = -3 e x = 2. Assim, temos duas possibilidades: - Quando -3 ≤ x < -2, temos -x - x² ≥ 6, o que é verdadeiro para todo x nesse intervalo. - Quando -2 ≤ x < 0, temos x² + x² ≥ 6, o que é verdadeiro para todo x nesse intervalo. Portanto, a solução da inequação é a união dos intervalos encontrados: S = {x ∈ IR / -3 ≤ x < -2 ou -2 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 3}. Assim, a alternativa correta é a letra c) S = {x ∈ IR / -3 ≤ x < -2 ou -2 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 3}.