47. (ITA 2012) As interseções das retas r : x − 3y + 3 = 0, s : x + 2y − 7 = 0 e t : x + 7y − 7 = 0, duas a duas, respectivamente, definem os vérti...

Para encontrar os vértices do triângulo, precisamos encontrar as interseções das retas duas a duas. Podemos fazer isso resolvendo os sistemas de equações lineares formados pelas retas. Para r e s: x - 3y + 3 = 0 x + 2y - 7 = 0 Somando as duas equações, temos: 2x - y - 4 = 0 y = 2x - 4 Substituindo y na primeira equação, temos: x - 3(2x - 4) + 3 = 0 -5x + 9 = 0 x = 9/5 Substituindo x em y = 2x - 4, temos: y = 2(9/5) - 4 y = 2/5 Portanto, a interseção de r e s é o ponto (9/5, 2/5). Para r e t: x - 3y + 3 = 0 x + 7y - 7 = 0 Subtraindo as duas equações, temos: -10y + 10 = 0 y = 1 Substituindo y na primeira equação, temos: x - 3(1) + 3 = 0 x = 0 Portanto, a interseção de r e t é o ponto (0, 1). Para s e t: x + 2y - 7 = 0 x + 7y - 7 = 0 Subtraindo as duas equações, temos: -5y = 0 y = 0 Substituindo y na primeira equação, temos: x + 2(0) - 7 = 0 x = 7 Portanto, a interseção de s e t é o ponto (7, 0). Assim, os vértices do triângulo são (9/5, 2/5), (0, 1) e (7, 0). Para calcular a área total da superfície do prisma, precisamos calcular a área das duas bases e a área das quatro faces laterais. A área de cada base é a área do triângulo, que podemos calcular usando a fórmula da área de um triângulo: A = (base x altura) / 2 A base do triângulo é a distância entre os pontos (9/5, 2/5) e (0, 1), que podemos calcular usando a fórmula da distância entre dois pontos: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) d = sqrt((0 - 9/5)^2 + (1 - 2/5)^2) d = sqrt(161/25) A altura do triângulo é a altura do prisma, que é 2. Portanto, a área de cada base é: A_base = (sqrt(161/25) x 2) / 2 A_base = sqrt(161) / 5 A área das quatro faces laterais é a área do retângulo formado pela altura do prisma e pela distância entre as retas s e t. A distância entre duas retas é a distância entre um ponto de uma reta e a outra reta. Podemos usar o ponto (9/5, 2/5) da reta r como ponto da reta s e calcular a distância entre esse ponto e a reta t usando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2) Onde a, b e c são os coeficientes da equação da reta t. d = |(9/5) + 7(2/5) - 7| / sqrt(1^2 + 7^2) d = 2sqrt(10) / 5 Portanto, a área das quatro faces laterais é: A_lateral = 2 x 2sqrt(10) / 5 A_lateral = 4sqrt(10) / 5 Assim, a área total da superfície do prisma é: A_total = 2 x A_base + A_lateral x 4 A_total = 2 x sqrt(161) / 5 + 4 x 4sqrt(10) / 5 A_total = (2sqrt(161) + 16sqrt(10)) / 5 Para calcular o volume do prisma, basta multiplicar a área da base pela altura: V = A_base x altura V = sqrt(161) / 5 x 2 V = 2sqrt(161) / 5 Portanto, a área total da superfície do prisma é (2sqrt(161) + 16sqrt(10)) / 5 e o volume do prisma é 2sqrt(161) / 5.