(ITA-90) Sejam A, B e C matrizes n x n tais que A e B são inversíveis e ABCA = At é a transposta da matriz A. Então, podemos afirmar que: a) C é ...

Podemos afirmar que a alternativa correta é a letra d) C é inversível e det C = (det A)².det B. Para resolver esse problema, podemos começar multiplicando ambos os lados da equação ABCA = At por B^-1, obtendo assim: ABC = (A^t)(B^-1). Em seguida, multiplicamos ambos os lados da equação por A^-1, obtendo: BC = (A^t)(B^-1)(A^-1). Agora, podemos calcular o determinante de ambos os lados da equação BC = (A^t)(B^-1)(A^-1), usando a propriedade de que det(AB) = det(A)det(B) e det(A^-1) = 1/det(A): det(BC) = det((A^t)(B^-1)(A^-1)) det(BC) = det(A^t)det(B^-1)det(A^-1) det(BC) = (det(A))^2(det(B))^-1 det(BC) = (det(A))^2(det(B))^-1 det(C)det(B) = (det(A))^2 det(C) = (det(A))^2(det(B))^-1 Portanto, a alternativa correta é a letra d) C é inversível e det C = (det A)².det B.