04. Uma esfera sólida de raio R, transparente, é feita com um material de índice de refração n. A esfera é então cortada por um plano que dista x d...

Para que os raios que emergem da esfera divirjam de um ponto situado sobre o eixo desse sistema a uma distância d = R.n do centro da esfera, é necessário que o ângulo limite de refração seja atingido. Esse ângulo é dado por: sin θ = n' / n Onde n é o índice de refração da esfera e n' é o índice de refração do meio externo (ar). Como a esfera é cortada por um plano que dista x do centro, a distância entre o ponto P e o centro da esfera é d = R - x. O ângulo de incidência θi é dado por: θi = arctan(d / R) O ângulo de refração θr é dado por: θr = arcsin(n.sin θi) Para que os raios que emergem da esfera divirjam de um ponto situado sobre o eixo desse sistema a uma distância d = R.n do centro da esfera, o ângulo de refração deve ser igual a 90 graus. Portanto, temos: θr = 90 graus n.sin θi = 1 n.sin(arctan(d / R)) = 1 n.(d / R) / sqrt(R^2 + d^2) = 1 d = R.(sqrt(n^2 - 1)) Portanto, o valor de x em função de R e n para que os raios que emergem da esfera divirjam de um ponto situado sobre o eixo desse sistema a uma distância d = R.n do centro da esfera é dado por: x = R - d x = R - R.(sqrt(n^2 - 1)) x = R.(1 - sqrt(n^2 - 1))