10. (EESCUSP1955) Dado um tetraedro regular, estudar o poliedro P que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro. Se � é o lado d...

Para estudar o poliedro P que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro regular, podemos observar que esse poliedro é formado por quatro tetraedros menores, cada um com um vértice no centro do tetraedro regular e os outros três vértices nos pontos médios das arestas que partem do vértice central. Para calcular a área total de P, podemos calcular a área de cada um dos tetraedros menores e somá-las. Cada um desses tetraedros menores é congruente, portanto, basta calcular a área de um deles e multiplicar por quatro. A área de um tetraedro regular é dada por: A = √3 * L² Onde L é o lado do tetraedro. Como os lados dos tetraedros menores são iguais a metade dos lados do tetraedro regular, temos que: L' = L/2 Substituindo na fórmula da área, temos: A' = √3 * (L/2)² A' = √3 * L²/4 A' = L² * √3/4 Portanto, a área total de P é dada por: A = 4 * A' A = 4 * L² * √3/4 A = L² * √3 Para calcular o volume de P, podemos observar que cada um dos tetraedros menores tem volume igual a um sexto do volume do tetraedro regular. Portanto, o volume de P é dado por: V = 4 * (1/6) * (L³ * √2)/12 V = L³ * √2/6 Portanto, a área total de P é L² * √3 e o volume de P é L³ * √2/6.