10. (EESCUSP1955) Dado um tetraedro regular, estudar o poliedro P que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro. Se � é o lado d...

Para estudar o poliedro P que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro regular, podemos observar que esse poliedro é formado por quatro tetraedros menores, cada um com um vértice no centro do tetraedro regular e os outros três vértices nos pontos médios das arestas que partem do vértice central. Para calcular a área total de P, podemos calcular a área de cada um dos tetraedros menores e somá-las. Cada um desses tetraedros menores tem área igual a 1/8 da área do tetraedro regular, que é dada por: A = √3 * a^2 Portanto, a área total de P é: A_total = 4 * (1/8) * √3 * a^2 = √3/2 * a^2 Para calcular o volume de P, podemos calcular o volume de cada um dos tetraedros menores e somá-los. Cada um desses tetraedros menores tem volume igual a 1/24 do volume do tetraedro regular, que é dado por: V = (a^3)/(6√2) Portanto, o volume total de P é: V_total = 4 * (1/24) * (a^3)/(6√2) = (a^3)/(4√2) Portanto, a área total de P é √3/2 * a^2 e o volume total de P é (a^3)/(4√2).