5.(Ita 2016) Uma esfera 1S , de raio R 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, 2S , de raio r, com 0 r R,  está contida no...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a semelhança de triângulos e a fórmula do volume do cone. Seja O o centro da esfera 1S e P o ponto de tangência entre a esfera 2S e a superfície lateral do cone K. Sejam H e h as alturas dos triângulos OPB e OPA, respectivamente, onde B é o ponto de tangência entre as esferas 1S e 2S. Pela semelhança de triângulos, temos: h / (R - r) = H / R h = H(R - r) / R Pelo teorema de Pitágoras, temos: (R - r)² + H² = (R + r)² H² = 4Rr Substituindo H² na equação anterior, temos: h = 4r(R - r) / (2R) h = 2r(R - r) / R O volume do cone K é dado por: V = (1/3)πR²h Substituindo h, temos: V = (1/3)πR²(2r(R - r) / R) V = (2/3)πr(R - r)R V = (2/3)πRr(R - r) Portanto, a alternativa correta é a letra E) 55R/3r(R - r)π.