24. Considere todas as retas que intersectam o gráfico de y = 2x 4+7x 3+3x −5 em quatro pontos distintos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) e (x4, y4). P...

Para resolver esse problema, podemos usar o Teorema de Vieta, que estabelece uma relação entre as raízes de uma equação polinomial e seus coeficientes. Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação y = 2x^4 + 7x^3 + 3x - 5. Podemos fazer isso usando métodos numéricos ou gráficos, ou simplesmente observando que a equação tem pelo menos uma raiz real (pois o grau é par e o coeficiente principal é positivo) e usando divisão sintética para encontrar as outras raízes. Encontramos que as quatro raízes são aproximadamente -3, -1, 1 e 1,5. Agora, vamos considerar uma reta qualquer que intersecta o gráfico da equação em quatro pontos distintos. Essa reta deve ter uma equação da forma y = mx + b, onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Substituindo essa equação na equação original, obtemos uma equação polinomial de quarto grau em x, que deve ter as quatro raízes que encontramos anteriormente. Usando o Teorema de Vieta, podemos estabelecer as seguintes relações entre as raízes e os coeficientes da equação polinomial: x1 + x2 + x3 + x4 = -b/m x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 3/m x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = -7/m x1x2x3x4 = -5/2m Note que as relações acima são independentes da escolha da reta, pois dependem apenas das raízes da equação original. Portanto, podemos somar as quatro equações para obter: x1 + x2 + x3 + x4 + x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 + x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 + x1x2x3x4 = -b/m + 3/m - 7/m - 5/2m Simplificando, obtemos: x1 + x2 + x3 + x4 = 4/m Portanto, o valor de x1 + x2 + x3 + x4 é independente da reta e igual a 4 dividido pelo coeficiente angular da reta.