Caṕıtulo 2. Relaciones y (x2, y2)R(x1, y1). Si x1 = x2, entonces y1 ≤ y2 e y2 ≤ y1. Es decir, x1 = x2 e y1 = y2, luego (x1, y1) = (x2, y2). No pue...

Caṕıtulo 2. Relaciones y (x2, y2)R(x1, y1). Si x1 = x2, entonces y1 ≤ y2 e y2 ≤ y1. Es decir, x1 = x2 e y1 = y2, luego (x1, y1) = (x2, y2). No puede ocurrir x1 6= x2, pues en caso contrario x1 < x2 y x2 < x1 (absurdo). Transitiva. Sean (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) elementos de C tales que (x1, y1)R(x2, y2) y (x2, y2)R(x3, y3). Tenemos, x1 = x2 ⇒ y1 ≤ y2 ⇒ { x2 = x3 ⇒ y2 ≤ y3 x2 6= x3 ⇒ x2 < x3 ⇒ { x1 = x3 ∧ y1 ≤ y3 x1 6= x3 ∧ x1 < x3 ⇒ { (x1, y1)R(x3, y3) (x1, y1)R(x3, y3). Es decir, si x1 = x2, en cualquier caso ocurre (x1, y1)R(x3, y3). Analicemos ahora el caso x1 6= x2. x1 6= x2 ⇒ x1 < x2 ⇒ { x2 = x3 ⇒ x1 < x3 x2 6= x3 ⇒ x2 < x3 ⇒ { x1 < x3 x1 < x3 ⇒ { (x1, y1)R(x3, y3) (x1, y1)R(x3, y3). Es decir, si x1 6= x2, en cualquier caso ocurre (x1, y1)R(x3, y3). Concluimos pues que R es relación de orden en C. (b) Sean (x1, y1), (x2, y2) elementos de C. Puede ocurrir x1 = x2 o x1 6= x2. Si x1 = x2, o bien y1 ≤ y2 o bien y2 ≤ y1, lo cual implica que o bien (x1, y1)R(x2, y2), o bien (x2, y2)R(x1, y1). Si x1 6= x2, o bien x1 < x2 o bien x2 < x1, lo cual implica que o bien (x1, y1)R(x2, y2), o bien (x2, y2)R(x1, y1). Hemos demostrado que R es rela- ción de orden total en C.