(ITA) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-vazios, tais que ) 1 .   n(P(A) P(B) n(P( A B)) Então, a diferença n(A) −...

Podemos começar resolvendo a equação dada: 1 + |P(A) ∪ P(B)| = |P(A)| + |P(B)| + |P(A ∩ B)| Sabemos que A e B são conjuntos disjuntos, então A ∩ B = ∅. Além disso, como A e B são finitos e não-vazios, sabemos que |A| > 0 e |B| > 0. Podemos reescrever a equação como: 1 + 2^n(A ∪ B) = 2^n(A) + 2^n(B) Onde n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Agora, podemos usar a fórmula de inclusão-exclusão para encontrar n(A) - n(B): n(A) - n(B) = |A| - |B| = (|A ∪ B| - |A ∩ B|) - |B| = |A ∪ B| - |B| Substituindo na equação anterior, temos: 1 + 2^n(A ∪ B) = 2^n(A) + 2^n(B) 1 + 2^n(A) + 2^n(B) - 2^n(A ∩ B) = 2^n(A) + 2^n(B) 1 - 2^n(A ∩ B) = 2^n(A ∩ B) Isso implica que 2^n(A ∩ B) = 1, ou seja, A ∩ B tem exatamente um elemento. Agora, podemos contar o número de elementos em A ∪ B: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = |A| + |B| - 1 Substituindo na fórmula para n(A) - n(B), temos: n(A) - n(B) = |A ∪ B| - |B| = |A| + |B| - 1 - |B| = |A| - 1 Portanto, n(A) - n(B) pode assumir um único valor, que é |A| - 1. A alternativa correta é a letra A.