2.(IME) São dadas duas esferas , (e1) de centro O1 e raio 3, e (e2) de centro O2 de raio 9. A distancia entre os centros e 20. Estas esferas s sã...

Para determinar a excentricidade e a distância focal da seção elíptica (E), precisamos primeiro encontrar a equação da seção elíptica. Sabemos que a seção elíptica é formada pela interseção do cone de revolução com o plano que contém as duas esferas. Como as esferas têm raios diferentes, a seção elíptica não será circular, mas sim elíptica. Para encontrar a equação da seção elíptica, podemos usar a equação geral do cone de revolução: (x - x0)² + (y - y0)² = k²z² Onde (x0, y0, 0) é o vértice do cone, k é a inclinação do cone e z é a distância ao longo do eixo do cone. Podemos escolher o eixo z ao longo da linha que une os centros das esferas, de modo que a distância entre os centros seja igual a 20. Então, a distância do vértice do cone ao centro de uma das esferas é 9 (raio da esfera maior) - 3 (raio da esfera menor) = 6. Assim, temos: (x - x0)² + (y - y0)² = k²z² (x - x0)² + (y - y0)² = k²(20 - z)² (x - x0)² + (y - y0)² = k²(400 - 40z + z²) Agora, precisamos encontrar os valores de x0, y0 e k. Podemos fazer isso usando as coordenadas dos centros das esferas e o fato de que a seção elíptica passa pelos pontos de interseção das esferas. A distância entre os centros das esferas é 20, então podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a distância entre um ponto de interseção e o ponto médio entre os centros das esferas: d² = 9² - 3² = 72 d = sqrt(72) = 6sqrt(2) Assim, o ponto médio entre os centros das esferas é: ((O1x + O2x)/2, (O1y + O2y)/2) = (0, 0) E um ponto de interseção é: (O1x, O1y) = (0, 3) Podemos escolher o eixo x ao longo da linha que une os centros das esferas, de modo que o ponto médio esteja na origem. Então, temos: x0 = 0 y0 = 0 k² = 1/9 + 1/400 Assim, a equação da seção elíptica é: x²/9 + y²/9 + z²/400 = 1 A excentricidade da elipse é dada por: e = sqrt(1 - b²/a²) Onde a e b são os semieixos maior e menor da elipse. Como a² = 400/9 e b² = 400/9, temos: e = sqrt(1 - 9/400) = sqrt(391)/20 A distância focal da elipse é dada por: c = sqrt(a² - b²) Assim, temos: c = sqrt(400/9 - 400/9) = 0 Portanto, a distância focal da elipse é zero.