(ITA/04) Considere todos os números z = x+i y que têm módulo √7/2 e estão na elipse x 2+4y 2 = 4. Então, o produto deles é igual a a) 25/9. b) 49/...

Para resolver esse problema, podemos usar a forma polar dos números complexos. Como o módulo de z é √7/2, podemos escrever z na forma z = r(cosθ + i senθ), onde r = √7/2 e θ é o argumento de z. A equação da elipse pode ser escrita como x²/4 + y²/1 = 1, o que nos dá a relação x²/2 + y²/4 = 1. Podemos reescrever isso como: x²/2 = 1 - y²/4 Substituindo x²/2 em z = x + iy, temos: z = (1 - y²/4) + iy Usando a forma polar, podemos escrever: z = r(cosθ + i senθ) = √7/2(cosθ + i senθ) Igualando as partes real e imaginária, temos: 1 - y²/4 = √7/2 cosθ y = ±2√(2 - 7cos²θ) O produto de todos os números complexos z é dado por: z1 * z2 * ... * zn = r^n (cosθ1 + i senθ1) * (cosθ2 + i senθ2) * ... * (cosθn + i senθn) Como r = √7/2 para todos os números, temos: z1 * z2 * ... * zn = (7/4)^(n/2) (cos(θ1 + θ2 + ... + θn) + i sen(θ1 + θ2 + ... + θn)) Para encontrar θ1 + θ2 + ... + θn, podemos usar a relação y = ±2√(2 - 7cos²θ) que encontramos anteriormente. Substituindo y em x²/2 = 1 - y²/4, temos: x²/2 = 1 - (2√(2 - 7cos²θ))²/4 x²/2 = 1 - (2 - 7cos²θ) x²/2 = 5 - 7cos²θ cos²θ = (5 - x²/2)/7 Substituindo isso em y = ±2√(2 - 7cos²θ), temos: y = ±2√(2 - 7(5 - x²/2)/7) y = ±2√(x²/14 - 3/7) Portanto, temos: θ1 + θ2 + ... + θn = arctan(±2√(x²/14 - 3/7)) para todos os números z Substituindo isso na fórmula para o produto de z, temos: z1 * z2 * ... * zn = (7/4)^(n/2) (cos(arctan(±2√(x²/14 - 3/7))) + i sen(arctan(±2√(x²/14 - 3/7)))) Usando a identidade trigonométrica cos(arctan(x)) = 1/√(1 + x²) e sen(arctan(x)) = x/√(1 + x²), podemos simplificar a expressão acima: z1 * z2 * ... * zn = (7/4)^(n/2) [(1 + 4(x²/14 - 3/7))^-1/2 + i (±2√(x²/14 - 3/7))/(1 + 4(x²/14 - 3/7))^-1/2] Para que o produto seja real, a parte imaginária deve ser zero. Isso ocorre quando x²/14 - 3/7 = 0, ou seja, quando x = ±√6. Substituindo isso na expressão acima, temos: z1 * z2 * ... * zn = (7/4)^(n/2) [(1 + 4(6/14 - 3/7))^-1/2] z1 * z2 * ... * zn = (7/4)^(n/2) [(1/3)^-1/2] z1 * z2 * ... * zn = (7/4)^(n/2) √3 Como a elipse intersecta o eixo x em x = ±√2, temos que os números complexos correspondentes são z = ±√2. Portanto, o produto de todos os números complexos é dado por: z1 * z2 * ... * zn = (7/4)^(2) √3 = 49/16 Portanto, a alternativa correta é a letra b).