38. (IME 1988) Dado um círculo de raio R e centro O , constroem-se três círculos iguais de raios r , tangentes dois a dois, nos pontos E, F e G e ...

Para determinar o raio dos círculos E, F e G, podemos usar o Teorema de Pitágoras. Seja x a distância entre o centro do círculo dado e o centro de um dos círculos menores (por exemplo, o círculo E). Então, temos: (R - r)² = x² + r² Da mesma forma, podemos escrever equações semelhantes para os outros dois círculos menores. Somando as três equações, obtemos: 3(R - r)² = 3x² + 3r² Mas também podemos observar que a distância entre os centros dos círculos menores é igual ao raio do círculo dado mais o raio do círculo menor, ou seja: x = R + r Substituindo essa expressão na equação anterior, temos: 3(R - r)² = 3(R + r)² + 3r² Simplificando, obtemos: R = 4r Portanto, o raio dos círculos menores é igual a R/4. Para calcular a área da superfície EFG, podemos dividir essa região em três setores circulares e subtrair a área dos três triângulos EFG. Cada setor tem ângulo central de 120 graus (já que os círculos menores são tangentes dois a dois) e raio R/4, então sua área é: (1/3) * pi * (R/4)² * 120/360 = pi * R² / 48 Cada triângulo EFG é equilátero, com lado igual a R/2 (já que é a soma dos raios dos três círculos menores). Portanto, sua área é: (√3/4) * (R/2)² = pi * R² / 12√3 Assim, a área da superfície EFG é: pi * R² / 48 - pi * R² / 12√3 = pi * R² * (1/48 - 1/12√3)