A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em ????,   ???? e ???? e raios de comprimentos ????,   ???? e ????, respectiva...

a) Para determinar os valores dos raios dos círculos, podemos usar o fato de que os círculos são tangentes dois a dois. Seja ???? a distância entre os centros dos círculos com raios ???? e ????, ???? a distância entre os centros dos círculos com raios ???? e ???? e ???? a distância entre os centros dos círculos com raios ???? e ????. Então, temos: (???? + ????)² = (5)² (???? + ????)² = 25 ????² + 2???????? + ?????² = 25 (???? + ????)² = (6)² (???? + ????)² = 36 ????² + 2???????? + ?????² = 36 (???? + ????)² = (9)² (???? + ????)² = 81 ????² + 2???????? + ?????² = 81 Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de ???? ,   ???? e ???? . Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: (???? + ????)² - (???? + ????)² = 36 - 25 2???????? = 11 ???????? = 11/2 Subtraindo a primeira equação da terceira, obtemos: (???? + ????)² - (???? + ????)² = 81 - 25 2???????? = 56 ???????? = 28 Substituindo esses valores na primeira equação, obtemos: ????² + 2(11/2)???? + ?????² = 25 ????² + 11???? + ?????² = 25 Substituindo esses valores na segunda equação, obtemos: ????² + 2(28)???? + ?????² = 81 ????² + 56???? + ?????² = 81 Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: 2(28 - 11/2)???? = 56 - 25 ???? = 31/33 Substituindo esse valor na primeira equação, obtemos: ????² + 11(31/33) + ?????² = 25 ????² + (341/33) + ?????² = 25 Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos: ????² + 2(28)???? + ?????² = 81 ????² + (62/33) + ?????² = 81 Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de ???? e ???? . Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: 2(28 - 11/2)???? = 81 - 25 ???? = 27/33 Substituindo esse valor na primeira equação, obtemos: ????² + 11(27/33) + ?????² = 25 ????² + (297/33) + ?????² = 25 Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos: ????² + 2(28)???? + ?????² = 81 ????² + (54/33) + ?????² = 81 b) Para que o triângulo de vértices em ???? ,   ???? e ???? seja retângulo, a altura relativa à hipotenusa deve ser o diâmetro do círculo com centro em ???? . A altura relativa à hipotenusa é dada por: ???? = 2(???? + ???? + ????)/5 Substituindo os valores de ???? ,   ???? e ???? , obtemos: ???? = 2(11/2 + 28 + 31/33)/5 ???? = 2(33 + 924/33)/5 ???? = 2(1023/33)/5 ???? = 68/11 Portanto, o valor de ???? é 68/11.