90 – Água é bombeada entre dois reservatórios a uma vazão de 5,6 L/s, por um tubo de 50 mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura abaixo. Massa específica da água é 1000 kg/m³, a viscosidade cinemática da água é 1,02x10-6 m²/s e a aceleração da gravidade é 9,81 m/s². Sabendo que o comprimento total da tubulação é de 122 m e que a rugosidade relativa é ε/D = 0,001. Calcule a potência requerida pela bomba em hp, sendo o rendimento da bomba de 80%. Dado: 1 hp = 745,7 W.

Question

90 – Água é bombeada entre dois reservatórios a uma vazão de 5,6 L/s, por um tubo de 50 mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura a...

Ed · Answer

Para calcular a potência requerida pela bomba, precisamos seguir alguns passos:

1. **Calcular a vazão em m³/s**:
   $$
   Q = 5,6 \, \text{L/s} = 5,6 \times 10^{-3} \, \text{m³/s}
   $$

2. **Calcular a área da seção transversal do tubo**:
   O diâmetro do tubo é de 50 mm, que é 0,05 m.
   $$
   A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0,05)^2}{4} \approx 1,9635 \times 10^{-3} \, \text{m²}
   $$

3. **Calcular a velocidade da água**:
   $$
   v = \frac{Q}{A} = \frac{5,6 \times 10^{-3}}{1,9635 \times 10^{-3}} \approx 2,855 \, \text{m/s}
   $$

4. **Calcular o número de Reynolds**:
   A viscosidade cinemática da água é $ \nu = 1,02 \times 10^{-6} \, \text{m²/s} $.
   $$
   Re = \frac{vD}{\nu} = \frac{2,855 \times 0,05}{1,02 \times 10^{-6}} \approx 140,000
   $$

5. **Calcular o fator de atrito (f)**:
   Para um número de Reynolds alto (turbulento), podemos usar a fórmula de Colebrook-White ou tabelas. Para simplificação, vamos assumir um valor típico para tubos de PVC com rugosidade relativa $ \epsilon/D = 0,001 $:
   $$
   f \approx 0,02 \, \text{(valor típico para tubos de PVC)}
   $$

6. **Calcular a perda de carga (h_f)**:
   $$
   h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{v^2}{2g}
   $$
   Onde $ L = 122 \, \text{m} $ e $ g = 9,81 \, \text{m/s²} $:
   $$
   h_f = 0,02 \cdot \frac{122}{0,05} \cdot \frac{(2,855)^2}{2 \cdot 9,81} \approx 0,02 \cdot 2440 \cdot 0,41 \approx 20,1 \, \text{m}
   $$

7. **Calcular a potência hidráulica (P_h)**:
   $$
   P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot h_f
   $$
   $$
   P_h = 1000 \cdot 9,81 \cdot 5,6 \times 10^{-3} \cdot 20,1 \approx 1,176 \, \text{kW}
   $$

8. **Calcular a potência requerida pela bomba (P_b)**:
   Considerando o rendimento da bomba de 80%:
   $$
   P_b = \frac{P_h}{\eta} = \frac{1,176}{0,8} \approx 1,470 \, \text{kW}
   $$

9. **Converter para hp**:
   $$
   P_b \, \text{(hp)} = \frac{1,470 \times 1000}{745,7} \approx 1,97 \, \text{hp}
   $$

Portanto, a potência requerida pela bomba é aproximadamente **1,97 hp**.

Ed · Answer

Para calcular a potência requerida pela bomba, podemos utilizar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em um sistema. A equação de Bernoulli é dada por:

P1/ρ + V1²/2g + h1 + hf = P2/ρ + V2²/2g + h2

Onde:
P1/ρ + V1²/2g + h1 = Energia na entrada da tubulação
hf = Perda de carga
P2/ρ + V2²/2g + h2 = Energia na saída da tubulação

Podemos calcular a perda de carga utilizando a equação de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga com a velocidade, o diâmetro, a rugosidade relativa e a viscosidade cinemática do fluido. A equação de Darcy-Weisbach é dada por:

hf = f * (L/D) * (V²/2g)

Onde:
f = Fator de atrito
L = Comprimento da tubulação
D = Diâmetro da tubulação
V = Velocidade do fluido
g = Aceleração da gravidade

Para calcular o fator de atrito, podemos utilizar a equação de Colebrook-White, que relaciona o fator de atrito com a rugosidade relativa e o número de Reynolds. A equação de Colebrook-White é dada por:

1/√f = -2log((ε/D)/3,7 + 2,51/(Re√f))

Onde:
Re = Número de Reynolds
Re = (D * V * ρ) / μ

Substituindo os valores dados na equação de Bernoulli e nas equações de Darcy-Weisbach e Colebrook-White, temos:

P1/ρ + V1²/2g + h1 + f * (L/D) * (V²/2g) = P2/ρ + V2²/2g + h2

1/√f = -2log((ε/D)/3,7 + 2,51/(Re√f))

Re = (D * V * ρ) / μ

O rendimento da bomba é dado por:

η = Potência útil / Potência fornecida

A potência requerida pela bomba é dada por:

Potência fornecida = Potência útil / η

Substituindo os valores dados na equação de Bernoulli e nas equações de Darcy-Weisbach e Colebrook-White, temos:

P1/ρ + V1²/2g + h1 + f * (L/D) * (V²/2g) = P2/ρ + V2²/2g + h2

1/√f = -2log((ε/D)/3,7 + 2,51/(Re√f))

Re = (D * V * ρ) / μ

η = 0,8

Potência fornecida = ?

Para resolver esse sistema de equações, é necessário utilizar métodos numéricos ou softwares específicos.

Mecânica dos Fluidos

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