108 – A asa de um avião tem 7,5 m de envergadura e 2,1 m de corda. Estimar a força de arrasto na asa utilizando os resultados para o escoamento sobre uma placa plana e admitindo a camada limite turbulenta desde o bordo de ataque, quando o avião voa a 360 km/h. Qual seria a redução de potência necessária se fosse feito o controle da camada limite de forma a assegurar escoamento laminar até o bordo de fuga? (v = 10-5 m²/s; ρ = 1,0 kg/ m³);

Question

108 – A asa de um avião tem 7,5 m de envergadura e 2,1 m de corda. Estimar a força de arrasto na asa utilizando os resultados para o escoamento sob...

Ed · Answer

Para estimar a força de arrasto na asa do avião, podemos usar a fórmula do arrasto em uma placa plana. A força de arrasto $D$ pode ser calculada pela seguinte equação:

$$
D = \frac{1}{2} \cdot C_d \cdot \rho \cdot A \cdot V^2
$$

Onde:
- $C_d$ é o coeficiente de arrasto (para uma camada limite turbulenta, pode ser considerado em torno de 1,3 a 1,5 para uma placa plana).
- $\rho$ é a densidade do ar (1,0 kg/m³).
- $A$ é a área da asa (envergadura $\times$ corda).
- $V$ é a velocidade do ar (360 km/h = 100 m/s).

1. **Calcular a área da asa $A$**:
   $$
   A = \text{envergadura} \times \text{corda} = 7,5 \, \text{m} \times 2,1 \, \text{m} = 15,75 \, \text{m}^2
   $$

2. **Converter a velocidade**:
   $$
   V = 360 \, \text{km/h} = \frac{360 \times 1000}{3600} = 100 \, \text{m/s}
   $$

3. **Substituir os valores na fórmula do arrasto**:
   Vamos considerar $C_d = 1,5$ (valor aproximado para camada turbulenta):
   $$
   D = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 1,0 \cdot 15,75 \cdot (100)^2
   $$
   $$
   D = 0,75 \cdot 1,0 \cdot 15,75 \cdot 10000
   $$
   $$
   D = 0,75 \cdot 157500 = 118125 \, \text{N}
   $$

Agora, para calcular a redução de potência necessária se o controle da camada limite assegurasse escoamento laminar, precisamos considerar que o coeficiente de arrasto para escoamento laminar é significativamente menor, geralmente em torno de 0,1 a 0,2.

4. **Calcular a nova força de arrasto $D_{laminar}$**:
   Vamos considerar $C_d = 0,1$:
   $$
   D_{laminar} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot 1,0 \cdot 15,75 \cdot (100)^2
   $$
   $$
   D_{laminar} = 0,05 \cdot 1,0 \cdot 15,75 \cdot 10000
   $$
   $$
   D_{laminar} = 0,05 \cdot 157500 = 7875 \, \text{N}
   $$

5. **Calcular a redução de força de arrasto**:
   $$
   \Delta D = D - D_{laminar} = 118125 - 7875 = 110250 \, \text{N}
   $$

6. **Calcular a potência**:
A potência $P$ é dada por:
$$
P = D \cdot V
$$
Para a condição turbulenta:
$$
P_{turbulento} = 118125 \cdot 100 = 11812500 \, \text{W} = 11,81 \, \text{MW}
$$
Para a condição laminar:
$$
P_{laminar} = 7875 \cdot 100 = 787500 \, \text{W} = 0,79 \, \text{MW}
$$

7. **Redução de potência**:
$$
\Delta P = P_{turbulento} - P_{laminar} = 11812500 - 787500 = 11025000 \, \text{W} = 11,03 \, \text{MW}
$$

Portanto, a força de arrasto na asa é aproximadamente 118125 N, e a redução de potência necessária ao controlar a camada limite para assegurar escoamento laminar seria de cerca de 11,03 MW.

Ed · Answer

Para estimar a força de arrasto na asa, é necessário utilizar a equação de arrasto de uma placa plana, que é dada por:

Fd = 1/2 * ρ * V² * Cd * A

Onde:
- Fd é a força de arrasto;
- ρ é a densidade do ar;
- V é a velocidade do avião;
- Cd é o coeficiente de arrasto;
- A é a área da asa.

Para uma placa plana, o coeficiente de arrasto é dado por:

Cd = 1,328 / sqrt(Re)

Onde:
- Re é o número de Reynolds, que é dado por: Re = (ρ * V * L) / μ, onde L é o comprimento característico e μ é a viscosidade dinâmica.

Assumindo que a asa é retangular, a área da asa é dada por:

A = b * c

Onde:
- b é a envergadura da asa;
- c é a corda da asa.

Substituindo os valores dados, temos:

L = c = 2,1 m
b = 7,5 m
V = 360 km/h = 100 m/s
ρ = 1,0 kg/m³
μ = 10^-5 m²/s

Re = (ρ * V * L) / μ = (1,0 * 100 * 2,1) / (10^-5) = 2,1 * 10^9

Cd = 1,328 / sqrt(Re) = 1,328 / sqrt(2,1 * 10^9) = 0,008

A = b * c = 7,5 * 2,1 = 15,75 m²

Fd = 1/2 * ρ * V² * Cd * A = 1/2 * 1,0 * 100² * 0,008 * 15,75 = 1260 N

Para calcular a redução de potência necessária se fosse feito o controle da camada limite de forma a assegurar escoamento laminar até o bordo de fuga, é necessário calcular a diferença de arrasto entre o escoamento laminar e o escoamento turbulento. Essa diferença é dada por:

ΔFd = 0,664 * ρ * V² * L * (Cd_laminar - Cd_turbulento)

Onde:
- Cd_laminar é o coeficiente de arrasto para o escoamento laminar;
- Cd_turbulento é o coeficiente de arrasto para o escoamento turbulento.

Assumindo que a camada limite laminar se estende até 60% da corda da asa, temos:

L_laminar = 0,6 * c = 1,26 m

Re_laminar = (ρ * V * L_laminar) / μ = (1,0 * 100 * 1,26) / (10^-5) = 1,26 * 10^8

Cd_laminar = 1,328 / sqrt(Re_laminar) = 1,328 / sqrt(1,26 * 10^8) = 0,021

ΔFd = 0,664 * 1,0 * 100² * 1,26 * (0,021 - 0,008) = 139,9 N

Portanto, a redução de potência necessária seria de aproximadamente 11,1%, que é a razão entre a diferença de arrasto e a força de arrasto total:

Redução de potência = ΔFd / Fd * 100% = 139,9 / 1260 * 100% = 11,1%

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