(ITA-1981) O conjunto A definido por        A z , z i z i 4 , representa no plano complexo: a) uma elipse cujos focos se encontram nos p...

Para resolver essa questão, podemos reescrever a definição do conjunto A como: A = {z ∈ ℂ | |z - i| - |z + i| = 4} Podemos simplificar essa equação usando a identidade |z| = √(z * conj(z)), onde conj(z) é o conjugado de z: |z - i| - |z + i| = 4 √[(z - i) * conj(z - i)] - √[(z + i) * conj(z + i)] = 4 √[z * conj(z) - zi - conj(zi) + 1] - √[z * conj(z) + zi + conj(zi) + 1] = 4 √[z * conj(z) - 2Re(zi) + 1] - √[z * conj(z) + 2Re(zi) + 1] = 4 Podemos fazer uma substituição simples, definindo w = z * conj(z): √[w - 2Re(zi) + 1] - √[w + 2Re(zi) + 1] = 4 Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes: [w - 2Re(zi) + 1] - 2√[(w - 2Re(zi) + 1)(w + 2Re(zi) + 1)] + [w + 2Re(zi) + 1] = 16 Simplificando: 2w - 4Re(zi) - 2√[w^2 - (2Re(zi) - 1)^2] = 14 Isolando a raiz: √[w^2 - (2Re(zi) - 1)^2] = w - 7 - 2Re(zi) Elevando ambos os lados ao quadrado novamente: w^2 - (2Re(zi) - 1)^2 = w^2 - 14w + 49 + 4Re(zi)w - 28Re(zi) + 4Re(zi)^2 Simplificando: 14w = 4Re(zi)w - 4Re(zi)^2 - 28Re(zi) + 49 w = (4Re(zi) + 28Re(zi) - 49) / (14 - 4Re(zi)) Substituindo w por z * conj(z): z * conj(z) = (4Re(zi) + 28Re(zi) - 49) / (14 - 4Re(zi)) Podemos reescrever isso como: |z|^2 = (4Re(zi) + 28Re(zi) - 49) / (14 - 4Re(zi)) Podemos ver que o lado direito é uma função racional de Re(zi), que é a parte real de i. Essa função tem um pólo simples em Re(zi) = 7/2 e um zero simples em Re(zi) = -7/2. Portanto, o conjunto A é uma circunferência com centro em (0, 0) e raio 4 quando Re(zi) < -7/2 ou Re(zi) > 7/2, e é vazio quando -7/2 < Re(zi) < 7/2. A resposta correta é a letra E (nda).