05 24 - (Lista àreas) - [Tetra e Medicina]

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Prof. Anderson Weber 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Áreas 
 
 1. (Fatec 2019) Uma artesã borda, com lã, tapetes com 
desenhos baseados em figuras geométricas. Ela 
desenvolve um padrão retangular de 20 cm por 40 cm. 
No padrão, serão bordados dois triângulos pretos e quatro 
triângulos na cor cinza e o restante será bordado com lã 
branca, conforme a figura. 
 
Cada triângulo preto é retângulo e isósceles com hipotenusa 
12 2 cm. Cada triângulo cinza é semelhante a um 
triângulo preto e possui dois lados de medida 10 cm. 
Assim posto, a área no padrão bordada em branco é, em 
2cm , 
a) 344. 
b) 456. 
c) 582. 
d) 628. 
e) 780. 
 
2. (Enem PPL 2018) Uma pessoa possui um terreno em 
forma de um pentágono, como ilustrado na figura. 
 
Sabe-se que a diagonal AD mede 50 m e é paralela ao 
lado BC, que mede 29 m. A distância do ponto B a AD é 
de 8 m e a distância do ponto E a AD é de 20 m. 
A área, em metro quadrado, deste terreno é igual a 
a) 658. 
b) 700. 
c) 816. 
d) 1.132. 
e) 1.632. 
 
3. (Unesp 1998) Considere um quadrado ABCD cuja 
medida dos lados é 1 dm. Seja P um ponto interior ao 
quadrado e equidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto 
médio do lado DA. 
 
Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do 
triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é 
a) 
2
3
dm. b) 
2
5
dm. c) 
3
5
dm. 
d) 
1
2
dm. e) 
4
7
dm. 
 
4. (Fuvest 2007) A figura representa um retângulo ABCD, 
com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento CD de 
maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção da 
diagonal AC com o segmento BE. 
 
Então a área do triângulo BCF vale 
a) 
6
5
 b) 
5
4
 c) 
4
3
 d) 
7
5
 e) 
3
2
 
 
5. (Espcex (Aman) 2019) Considere uma circunferência de 
centro O e raio 1cm tangente a uma reta r no ponto Q. A 
medida do ângulo ˆMOQ é 30 , onde M é um ponto da 
circunferência. Sendo P o ponto da reta r tal que PM é 
paralelo a OQ, a área (em 2cm ) do trapézio OMPQ é 
a) 
1 3
.
2 8
 b) 
3
2 .
2
 c) 
3
1 .
2
 
d) 
3
2 .
8
 e) 
3
.
2
 
 
6. (Einstein 2017) Os pontos B e F são extremidades da 
circunferência de equação 
2 2x y 81  e o segmento DE 
é tangente à circunferência dada no ponto C(0, 9). 
 
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No trapézio BDEF o ângulo F mede 120 e o ângulo B 
mede 150 , conforme mostra a figura. 
A área do trapézio BDEF vale 
a) 27 (3 3 1) 
b) 54 (2 3 1) 
c) 27 (2 3 3) 
d) 54 ( 3 3) 
 
7. (Unifesp 2019) A figura representa um trapézio retângulo 
UNFE de altura UE e uma circunferência de centro P 
inscrita no triângulo SNF, com S pertencente à UE. Sabe-
se que SI é perpendicular a NF, que I é o ponto médio de 
NF e que UN 8 cm, EF 6 cm e ES 8 cm. 
 
a) Calcule NS e a área do trapézio UNFE. 
b) Calcule a área da região destacada em verde na figura. 
 
8. (Unicamp 2019) No triângulo ABC exibido na figura a 
seguir, M é o ponto médio do lado AB, e N é o ponto 
médio do lado AC. 
 
Se a área do triângulo MBN é igual a t, então a área do 
triângulo ABC é igual a 
a) 3t. b) 2 3t. c) 4t. d) 3 2t. 
 
9. (Pucsp 2017) Considere o retângulo ABCD, com 
AB 8 cm, BC 5 cm  e o segmento PS que intersecta 
os prolongamentos dos lados AD e BC nos pontos P e 
S, respectivamente, conforme mostra a figura. 
 
 
 
Sabendo que AP 3 cm e CS 2 cm, a área do 
quadrilátero QBCR é 
a) 
218 cm . 
b) 
220 cm . 
c) 
222 cm . 
d) 
224 cm . 
 
10. (Fuvest 2011) Na figura, o triângulo ABC é equilátero 
de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do 
polígono DEFGHI vale 
 
 
a) 1 3 b) 2 3 c) 3 3 
d) 3 2 3 e) 3 3 3 
 
11. (Espm 2018) Na figura abaixo, M, N e P são os pontos 
de tangência do triângulo retângulo ABC com sua 
circunferência inscrita. Se AB 3 e AC 4, a área do 
triângulo BMN é igual a: 
 
 
a) 1,2 b) 2,0 c)1,8 d) 2,4 e) 1,6 
 
 
 
 
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12. (Espm 2018) O quadrado e o retângulo da figura abaixo 
foram montados com as mesmas 4 peças. A medida x é 
igual a: 
 
 
a) 2 5 1 
b) 5 1 
c) 5 1 
d) 3 5 2 
e) 
3 5
2
 
13. (Pucsp 2018) A figura mostra um quadrado ABCD de 
8 cm de lado, com os pontos E, F e G pontos médios dos 
segmentos DC, AE e BE, respectivamente. O ponto R é 
ponto médio da diagonal BD e do segmento FG, e o ponto 
Q pertence à intersecção dos segmentos BD e AE. 
 
A área do triângulo FQR, assinalado na figura, é 
a) 
4
.
3
 b) 
8
.
3
 c) 
3
.
4
 d) 
3
.
8
 
 
14. (Einstein 2017) A reta f que passa pelo ponto A(0, 8) 
e a reta g que passa pelos pontos E(0, 4) e C(4, 0) são 
perpendiculares e interceptam-se no ponto B, conforme 
mostra a figura. 
 
 
 
Sendo D(0, 0) a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas, a área do polígono ABCD é 
a) 16. 
b) 24. 
c) 28. 
d) 32. 
 
15. (Fuvest 2017) Na figura, o retângulo ABCD tem lados 
de comprimento AB 4 e BC 2. Sejam M o ponto 
médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os 
segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos 
pontos E e F, respectivamente. 
 
 
 
A área do triângulo AEF é igual a 
a) 
24
25
 b) 
29
30
 c) 
61
60
 d) 
16
15
 e) 
23
20
 
 
16. (Einstein 2017) Em uma aula de geometria, o professor 
passou a seguinte instrução: 
Desenhe um retângulo de lados 8 cm por 14 cm. Nomeie 
os vértices desse retângulo de A, B, C e D, sendo que AB 
deve ser um dos menores lados. Determine o ponto médio 
do lado AB e nomeie esse ponto pela letra M. A partir do 
ponto M trace um segmento paralelo aos lados maiores e 
que tenha 3 cm de comprimento. Nomeie esse segmento 
de MN. Determine a área do triângulo NCD. 
 
Natália e Mariana seguiram as instruções dadas, porém 
chegaram a resultados diferentes. Se o professor considerou 
corretas as duas resoluções, a diferença, em 
2cm , entre as 
áreas obtidas por Natália a Mariana foi 
a) 16 
b) 20 
c) 24 
d) 28 
 
 
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17. (Fuvest 2017) O retângulo ABCD, representado na 
figura, tem lados de comprimento AB 3 e BC 4. O 
ponto P pertence ao lado BC e BP 1. Os pontos R, S 
e T pertencem aos lados AB, CD e AD, 
respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e 
intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a 
AB. 
 
 
 
Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das 
áreas do retângulo ARQT, do triângulo CQP e do 
triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto  0, 3 , 
é 
a) 
61
8
 b) 
33
4
 c) 
17
2
 d) 
35
4
 e) 
73
8
 
 
18. (Unesp 1990) O lado BC do triângulo ABC mede 20 cm. 
Traça-se o segmento MN, paralelo a BC conforme a figura, 
de modo que a área do trapézio MNBC seja igual a 
3
4
da 
área do triângulo ABC. Calcule o comprimento de MN. 
 
 
19. (Unicamp 1993) Prove que a soma das distâncias de 
um ponto qualquer do interior de um triângulo equilátero a 
seus três lados é igual à altura desse triângulo. 
 
20. (Unicamp 1994) Em um quadrilátero convexo ABCD, a 
diagonal AC mede 12 cm e os vértices B e D distam, 
respectivamente, 3 cm e 5 cm da diagonal AC. 
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. 
b) Calcule a área do quadrilátero. 
 
21. (Unicamp 1998) Os lados de um triângulo medem 5, 12 
e 13 cm. 
a) Calcule a área desse triângulo. 
b) Encontre o raio da circunferência inscrita nesse triângulo. 
 
 
22.(Fuvest 2000) Na figura seguinte, E é o ponto de 
intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e è é o 
ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, 
então a área do quadrilátero ABCD será: 
 
a) 12 sen è 
b) 8 sen è 
c) 6 sen è 
d) 10 cos è 
e) 8 cos è 
 
23. (Fuvest 2001) Na figura a seguir , a reta r é paralela ao 
segmento AC , sendo E o ponto de intersecção de r com a 
reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE 
e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero 
ABED é 21, então a área do triângulo BCE é: 
 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
24. (Fuvest 2003) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do 
lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que 
as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que 
DC = 10. Calcule AB. 
 
 
25. (Fuvest 2005) A soma das distâncias de um ponto 
interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, 
a medida do lado do triângulo é 
a) 5 3 b) 6 3 c) 7 3 
d) 8 3 e) 9 3 
 
26. (Unifesp 2005) A figura representa um retângulo 
subdividido em 4 outros retângulos com as respectivas 
áreas. 
 
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O valor de a é: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
27. (Unicamp 2005) Sejam A, B, C e D os vértices de um 
quadrado cujos lados medem 10 cm cada. Suponha que a 
circunferência C passe pelos pontos C e D, que formam o 
lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao 
lado oposto AB. 
a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são C, D e M. 
b) Calcule o raio da circunferência C. 
 
28. (Unifesp 2007) Dois triângulos congruentes ABC e 
ABD, de ângulos 30°, 60° e 90°, estão colocados como 
mostra a figura, com as hipotenusas AB coincidentes. 
 
Se AB = 12 cm, a área comum aos dois triângulos, em 
centímetros quadrados, é igual a 
a) 6. b) 4 3 . c) 6 3 . 
d) 12. e) 12 3 . 
 
29. (Fuvest 2008) No triângulo ABC, tem-se que AB > AC, 
AC = 4 e cos C = 3/8. Sabendo-se que o ponto R pertence 
ao segmento BC e é tal que AR = AC e BR/BC = 4/7, 
calcule: 
a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC . 
b) a área do triângulo ABR. 
 
30. (Fuvest 2009) 
 
 
O triangulo ABC da figura é equilátero de lado 1. Os 
pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados 
AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos ˆAFE 
e ˆCGF são retos e a medida do segmento AF é x. 
 
Assim, determine: 
a) A área do triangulo AFE em função de x. 
b) O valor de x para o qual o angulo ˆFEG também é reto. 
 
31. (Unesp 2010) A figura representa uma chapa de 
alumínio de formato triangular de massa 1.250 gramas. 
Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC e, 
que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de 
modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. 
A espessura e a densidade do material da chapa são 
uniformes. Determine o valor percentual da razão de AD 
por AB. 
 
Dado: 11 3,32. 
 
 
a) 88,6. 
b) 81,2. 
c) 74,8. 
d) 66,4. 
e) 44,0. 
 
32. (Fuvest 2010) Na figura, os pontos A, B, C pertencem 
à circunferência de centro O e BC .α A reta OC é 
perpendicular ao segmento AB e o ângulo AOB mede 
3
π
 
radianos. Então, a área do triângulo ABC vale: 
 
 
a) 
2
8
α
 b) 
2
4
α
 c) 
2
2
α
 d) 
23
4
α
 e) 
2α 
 
33. (Fuvest 2012) O segmento é lado de um hexágono 
regular de área . O ponto P pertence à mediatriz de 
de tal modo que a área do triângulo vale . Então, 
a distância de P ao segmento é igual a 
a) b) c) 
d) e) 
 
AB
3 AB
PAB 2
AB
2 2 2 3 2
3 2 3
 
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34. (Unicamp 2013) Os lados do triângulo ABC da figura 
abaixo têm as seguintes medidas: 
20, 15 e 10.  AB BC AC 
 
 
 
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que 3BD e 
traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a 
razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado 
AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem 
explicitar os valores de h e H. 
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em 
relação ao lado AC. 
 
 
35. (Fuvest 2013) 
 
 
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. 
A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, 
prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um 
segmento de mesmo comprimento que esse lado. As 
extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, 
C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, 
AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado que AB 4 e que a 
distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a 
área do 
a) paralelogramo ABCD; 
b) triângulo BB’C’; 
c) quadrilátero A’B’C’D’. 
 
36. (Fuvest 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 
1: 200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de 
Preservação Permanente (APP), está representada na 
figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G 
está no segmento AF, o ponto E está no segmento DF, 
ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF 15, 
AG 12, AB 6, CD 3 e DF 5 5 indicam valores 
em centímetros no mapa real, então a área da APP é 
 
 
a) 100 km2 b) 108 km2 c) 210 km2 
d) 240 km2 e) 444 km2 
 
GABARITO: 
 
1: B 2: C 3: B 4: B 5: A 6:D 
7: a) 
298 cm . / b)   250(1 (3 2 2)) cm .π 
8: C 9: A 10: C 11: E 12: C 
13: A 14: C 15: D 16: C 17: A 
18: MN = 10 19: Demonstração 
 
 
 
 
20: 
 a): 
 
b) S = 48 cm2 
 
21: a) 30 cm2 / b) 2 cm 
22: A 23: B 24: AB = 20 25: B 26: B 
27: 
a) 50 cm2 
b) 25/4 = 6,25 cm 
28: E 
29: 
 a) 
55
2
 u.c. / b) 55 u.a. 
30: 
 a) 
2(x 3)
[AFE] u.a.
2
 / b) 
1
x u.c.
5
 
31: D 32: B 33: E 
34: 
 a) 5 / b) 
15 15
H
4
= 
35: 
a) A = 4  3 = 12. / b) 12 / c) S(A’B’C’D’) = 60 
36: E