Prove que a soma das distâncias de um ponto qualquer do interior de um triângulo equilátero a seus três lados é igual à altura desse triângulo.

Para provar que a soma das distâncias de um ponto qualquer do interior de um triângulo equilátero a seus três lados é igual à altura desse triângulo, podemos seguir os seguintes passos: 1. Desenhe um triângulo equilátero ABC e um ponto P em seu interior. 2. Trace as retas AP, BP e CP, que são perpendiculares aos lados do triângulo. 3. Seja h a altura do triângulo, que é a distância entre um dos lados e o vértice oposto. 4. Seja d1 a distância de P ao lado BC, d2 a distância de P ao lado AC e d3 a distância de P ao lado AB. 5. Observe que os triângulos APB, BPC e CPA são triângulos retângulos, pois as retas AP, BP e CP são perpendiculares aos lados opostos. 6. Portanto, podemos usar o teorema de Pitágoras em cada um desses triângulos para obter: AP² = d² + (h/2)² BP² = d² + (h/2)² CP² = d² + (h/2)² 7. Somando as três equações, temos: AP² + BP² + CP² = 3d² + 3(h/2)² AP² + BP² + CP² = 3d² + 3h²/4 8. Mas observe que a área do triângulo ABC pode ser calculada de duas maneiras: como base vezes altura dividido por dois, ou como a soma das áreas dos triângulos APB, BPC e CPA. Portanto, temos: (l * h)/2 = (AP * BP)/2 + (BP * CP)/2 + (CP * AP)/2 l * h = AP * BP + BP * CP + CP * AP 9. Substituindo as equações de AP, BP e CP na equação acima, temos: l * h = (d² + (h/2)²) + (d² + (h/2)²) + (d² + (h/2)²) l * h = 3d² + 3(h/2)² l * h = 3d² + 3h²/4 10. Igualando as duas últimas equações, temos: 3d² + 3h²/4 = h * l 4d² + 3h² = 4h * l 4d² = h² + 4h * (l/2) 4d² = h² + 2hl 11. Mas observe que h = l * √3/2, pois o triângulo é equilátero. Substituindo na equação acima, temos: 4d² = (l * √3/2)² + 2l * √3/2 * l 4d² = 3l²/4 + √3 * l² 4d² = (3 + √3) * l² 12. Finalmente, isolando d², temos: d² = [(3 + √3) * l²]/4 13. Mas observe que a área do triângulo ABC pode ser calculada de duas maneiras: como base vezes altura dividido por dois, ou como a soma das áreas dos triângulos APB, BPC e CPA. Portanto, temos: (l * h)/2 = (AP * BP)/2 + (BP * CP)/2 + (CP * AP)/2 l * h = AP * BP + BP * CP + CP * AP 14. Substituindo as equações de AP, BP e CP na equação acima, temos: l * h = (d² + (h/2)²) + (d² + (h/2)²) + (d² + (h/2)²) l * h = 3d² + 3(h/2)² l * h = 3d² + 3h²/4 15. Mas observe que a altura do triângulo é h = l * √3/2, pois o triângulo é equilátero. Substituindo na equação acima, temos: l * l * √3/2 = 3d² + 3(l/2)² l² * √3/2 = 3d² + 3l²/4 l² * √3 = 6d² + 3l² 16. Mas observe que a área do triângulo ABC é A = l² * √3/4, pois o triângulo é equilátero. Substituindo na equação acima, temos: A * 4/√3 = 4d² + 2l² A * 4√3/3 = 4d² + 2l² A * 4√3/3 = 4[(3 + √3) * l²]/16 + 2l² A * 4√3/3 = [(3 + √3) * l²]/4 + l²/2 A * 4√3/3 = [(6 + 2√3) * l²]/4 A * 4√3/3 = (3 + √3) * l²/2 17. Mas observe que a área do triângulo ABC também pode ser calculada como A = h * l/2. Substituindo na equação acima, temos: h * l/2 * 4√3/3 = (3 + √3) * l²/2 h * 4√3/3 = 3 + √3 h = (3 + √3) * 3/4√3 h = (9 + 3√3)/4√3 18. Substituindo h na equação de d², temos: d² = [(3 + √3) * l²]/4 d² = [(3 + √3) * 4A/√3]/4 d² = (3 + √3) * A/√3 19. Portanto, a soma das distâncias de um ponto qualquer do interior de um triângulo equilátero a seus três lados é igual à altura desse triângulo, que é h = (9 + 3√3)/4√3.