(Unicamp 2017) A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em ????,   ???? e ???? e raios de comprimentos ????,   ???? e...

Para resolver esse problema, podemos usar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades dos triângulos retângulos. Primeiro, vamos nomear os centros dos círculos como A, B e C, e os raios como r1, r2 e r3, respectivamente. Também vamos nomear os pontos de tangência entre os círculos como D, E e F, como mostrado na figura abaixo:  Observe que os triângulos ABD, BCE e CAF são triângulos retângulos, pois os segmentos AD, BE e CF são perpendiculares aos segmentos BD, CE e AF, respectivamente. Além disso, temos as seguintes relações: AD = r1 + r2 BE = r2 + r3 CF = r1 + r3 AB = AD + BE = r1 + 2r2 + r3 BC = BE + CF = r2 + 2r3 + r1 CA = CF + AD = r3 + 2r1 + r2 Também temos as seguintes relações entre as distâncias entre os centros dos círculos: AB = 5 BC = 6 CA = 9 Podemos usar essas relações para encontrar as soluções para os raios dos círculos. Por exemplo, podemos usar a primeira equação para isolar r1: r1 = AD - r2 Substituindo essa expressão na terceira equação, temos: r3 + 2r1 + r2 = 9 r3 + 2(AD - r2) + r2 = 9 r3 + 2AD - r2 = 9 r2 = 2AD - r3 - 9 Substituindo essa expressão na segunda equação, temos: r2 + 2r3 + r1 = 6 (2AD - r3 - 9) + 2r3 + r1 = 6 r1 - r3 = 15 - 2AD Finalmente, substituindo as expressões para r1 e r2 na equação para AB, temos: r1 + 2r2 + r3 = 5 (AD - r2) + 2(2AD - r3 - 9) + r3 = 5 5AD - 5r3 - 17 = 5 5AD - 5r3 = 22 Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (r1 e r3): r1 - r3 = 15 - 2AD 5AD - 5r3 = 22 Podemos resolver esse sistema para obter as soluções para r1 e r3 em termos de AD. A solução é: r1 = (15 - AD + 2)/2 r3 = (5AD - 22)/5 Observe que essas expressões são válidas para qualquer valor de AD, exceto AD = 1, que levaria a um raio negativo. Portanto, a resposta é a letra D: tem infinitas soluções se AD ≠ 1.