(a) Considere o seguinte subconjunto de R4: U = {(w, x, y, z) : w = y + z e x− z = 0} . Encontre uma base de U . Qual é a dimensão de U? (b) Q...

(a) Para encontrar uma base de U, precisamos encontrar um conjunto de vetores linearmente independentes que geram U. Podemos reescrever as equações que definem U como: w - y - z = 0 x - z = 0 Podemos escolher dois vetores que satisfazem essas equações, por exemplo: v1 = (1, 0, 1, 1) v2 = (0, 1, 0, 1) Podemos verificar que esses vetores são linearmente independentes e geram U. Portanto, uma base de U é {v1, v2}. A dimensão de U é 2. (b) O complemento de U em R4 é o conjunto de todos os vetores em R4 que não estão em U. Podemos encontrar uma base para o complemento de U adicionando vetores que são linearmente independentes com os vetores que geram U. Podemos escolher os seguintes vetores: u1 = (0, 0, 1, 0) u2 = (0, 0, 0, 1) Podemos verificar que esses vetores são linearmente independentes com os vetores que geram U. Portanto, uma base para o complemento de U é {v1, v2, u1, u2}. Agora podemos verificar quais dos conjuntos F, G e H geram o complemento de U. F = {(1, 0, 0, 0)} O vetor (0, 0, 1, 0) não pode ser gerado por F, portanto F não gera o complemento de U. G = {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 2)} Podemos escrever o vetor (0, 0, 1, 0) como uma combinação linear dos vetores em G: (0, 0, 1, 0) = -2(1, 0, 0, 0) + (0, 0, 0, 1) + 0(1, 0, 0, 2) Portanto, G gera o complemento de U. H = {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} O vetor (0, 0, 0, 1) não pode ser gerado por H, portanto H não gera o complemento de U.