Calcule ∫ ∫ S F . n d s onde F(x,y,z) = ( x,y,x2 z) e S é a superficie do cilindro (x- 1)2 + (y-1)2 = 1 entre os planos z = 0 e z = 4 com vetor ...

Para calcular a integral de superfície ∫∫S F.n dS, onde F(x,y,z) = (x,y,x^2z) e S é a superfície do cilindro (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1 entre os planos z = 0 e z = 4 com vetor normal apontando para fora de S, podemos usar o Teorema de Gauss: ∫∫S F.n dS = ∭E div F dV Onde E é o sólido delimitado pela superfície S e div F é a divergência do campo vetorial F. Calculando a divergência de F: div F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z = 1 + 1 + x^2 Substituindo na integral de volume: ∭E div F dV = ∫0^4 ∫0^2π ∫0^√(2) (1 + 1 + r^2cos^2θ) r dz dθ dr Resolvendo as integrais, obtemos: ∫0^4 ∫0^2π ∫0^√(2) (1 + 1 + r^2cos^2θ) r dz dθ dr = 16π/3 Portanto, a integral de superfície ∫∫S F.n dS é igual a 16π/3.