Se numa PA a soma dos m primeiros termos é igual a soma dos n primeiros termos, m n, mostre que a soma dos m+n primeiros termos é zero. 21-) Se n...

Seja a1 o primeiro termo da PA e r a razão. Então, a soma dos m primeiros termos é dada por: S_m = (m/2) * [2a1 + (m-1)r] E a soma dos n primeiros termos é dada por: S_n = (n/2) * [2a1 + (n-1)r] Como S_m = S_n, temos: (m/2) * [2a1 + (m-1)r] = (n/2) * [2a1 + (n-1)r] Simplificando, temos: ma1 + (m-1)r = na1 + (n-1)r Rearranjando, temos: (m+n-1)r = (n-m)a1 Dividindo ambos os lados por (m+n-1), temos: r = (n-m)a1 / (m+n-1) Agora, podemos calcular a soma dos m+n primeiros termos: S_m+n = ((m+n)/2) * [2a1 + (m+n-1)r] Substituindo r por (n-m)a1 / (m+n-1), temos: S_m+n = ((m+n)/2) * [2a1 + (m+n-1)(n-m)a1 / (m+n-1)] Simplificando, temos: S_m+n = ((m+n)/2) * [2a1 + (n-m)a1] S_m+n = ((m+n)/2) * [(m+n)a1] S_m+n = (m+n)/2 * (a1 + a_m+n) Como a_m+n é o último termo da PA, podemos escrever: a_m+n = a1 + (m+n-1)r Substituindo na equação anterior, temos: S_m+n = (m+n)/2 * [a1 + a1 + (m+n-1)r] S_m+n = (m+n)/2 * [2a1 + (m+n-1)r] S_m+n = (m+n)/2 * [2a1 + (n-m)a1] S_m+n = (m+n)/2 * [(m-n+1)a1] S_m+n = (m+n)(m-n+1)/2 * a1 Como m < n, temos que m-n+1 < 0. Portanto, a soma dos m+n primeiros termos é zero.