(IME-99) Determine as possíveis PA s tais que o resultado da divisão da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos sej...

Seja a PA (progressão aritmética) definida por a, a + r, a + 2r, ..., a + (n-1)r. A soma dos n primeiros termos é dada por S_n = (n/2)(2a + (n-1)r) e a soma dos 2n primeiros termos é dada por S_2n = (2n/2)(2a + (2n-1)r) = n(2a + (2n-1)r). A divisão da soma dos n primeiros termos pela soma dos 2n primeiros termos é dada por: S_n / S_2n = [(n/2)(2a + (n-1)r)] / [n(2a + (2n-1)r)] = (1/2) / (1 + (n-1)/(2a + (2n-1)r)) Para que essa divisão seja independente de n, é necessário que o termo (n-1)/(2a + (2n-1)r) seja constante. Isso só é possível se r = 0, ou seja, a PA é constante. Portanto, as únicas possíveis PAs são aquelas em que todos os termos são iguais.