06. (Olimpíada Goiana) Suponha que um número natural n seja fatorado do seguinte modo: n = 2^2 * 3^2 * 5^3 * 7. a) quantos divisores positivos poss...

a) Para encontrar o número de divisores positivos de n, basta somar 1 a cada um dos expoentes dos fatores primos e multiplicar os resultados. Assim, temos: (2+1) * (2+1) * (3+1) * (1+1) = 3 * 3 * 4 * 2 = 72 divisores positivos. b) A relação entre o número de divisores positivos e os expoentes dos fatores primos de n é dada pela fórmula: (a+1) * (b+1) * (c+1) * ... , em que a, b, c, ... são os expoentes dos fatores primos de n. c) Para encontrar o menor número natural que possui exatamente 22 divisores positivos distintos, precisamos encontrar uma fatoração de n em que (a+1) * (b+1) * (c+1) = 22. Como 22 é um número par, um dos fatores deve ser 2. Assim, podemos escrever: (a+1) * (b+1) = 11. As possibilidades são: a=1, b=10; a=2, b=5; a=5, b=2; a=10, b=1. Testando cada uma dessas possibilidades, encontramos que o menor número natural que possui exatamente 22 divisores positivos distintos é n = 2^10 * 3^2 = 3072.