13. (Olimpíada da Moldova) Seja n = 2^3 * 11^2 * 7^5. Determine o número de divisores de n^2 que são menores que n e não são divisores de n.

Primeiro, vamos encontrar o valor de n: n = 2^3 * 11^2 * 7^5 = 2^3 * 121 * 16.807 = 2^3 * 1.936 * 16.807 = 76.672 * 16.807 = 1.288.624 Agora, vamos encontrar o valor de n^2: n^2 = (2^3 * 11^2 * 7^5)^2 = 2^6 * 11^4 * 7^10 = 4.096 * 14.641 * 28.174.369 = 1.638.400.927.744 Para encontrar o número de divisores de n^2 que são menores que n e não são divisores de n, precisamos encontrar o número de divisores de n^2 que são maiores ou iguais a n. Os divisores de n^2 são formados por todos os possíveis produtos de potências de 2, 11 e 7 que são menores ou iguais a n^2. Como queremos encontrar apenas os divisores que são maiores ou iguais a n, podemos restringir nossa busca aos divisores que contêm pelo menos um fator de 2^3, 11^2 ou 7^5. O número de divisores de n^2 que contêm um fator de 2^3 é igual ao número de divisores de (11^2 * 7^5)^2, que é igual a (2 * 6 * 11) / 2 = 66. O número de divisores de n^2 que contêm um fator de 11^2 é igual ao número de divisores de (2^3 * 7^5)^2, que é igual a (4 * 6 * 11) / 2 = 132. O número de divisores de n^2 que contêm um fator de 7^5 é igual ao número de divisores de (2^3 * 11^2)^2, que é igual a (4 * 3 * 2) / 2 = 12. O número total de divisores de n^2 que são maiores ou iguais a n é, portanto, igual a 66 + 132 + 12 = 210. Como existem 2^3 * 11 * 7^4 = 1.288.624 divisores de n que são menores que n, o número de divisores de n^2 que são menores que n e não são divisores de n é igual a 1.288.624 - 210 = 1.288.414.