Verifique que a equação x3 + 2x2 + 3x− 2 = x2 − 2x+ 2 tem solução no intervalo [−2, 3] ⊂ R. Sejam a e b dois números inteiros. Encontre o maio...

Para verificar se a equação tem solução no intervalo [−2, 3], podemos avaliar a função nos extremos do intervalo e verificar se há mudança de sinal. Temos: f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + 3(-2) - 2 = -12 f(3) = 3^3 + 2(3)^2 + 3(3) - 2 = 28 Como f(-2) < 0 e f(3) > 0, pelo Teorema de Bolzano, a equação tem pelo menos uma solução no intervalo [−2, 3]. Para encontrar o maior valor de a e o menor valor de b, com −2 ≤ a ≤ b ≤ 3, tais que a equação x3 +2x2 +3x− 2 = x2− 2x+2 tenha solução em [a, b], podemos utilizar o mesmo raciocínio. Avaliando a função nos extremos do intervalo [a, b], temos: f(a) = a^3 + 2a^2 + 3a - 2 - a^2 + 2a - 2 = a^3 + a^2 + 5a - 6 f(b) = b^3 + 2b^2 + 3b - 2 - b^2 + 2b - 2 = b^3 + b^2 + 5b - 6 Para que a equação tenha solução em [a, b], precisamos que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Como a e b são inteiros, podemos testar os valores -2, -1, 0, 1, 2 e 3 para a e b e verificar quais pares satisfazem a condição. Temos: Para a = -2 e b = 3, f(-2) = -12 e f(3) = 28, então a equação tem solução em [-2, 3]. Para a = -2 e b = 2, f(-2) = -12 e f(2) = 6, então a equação tem solução em [-2, 2]. Para a = -1 e b = 3, f(-1) = -5 e f(3) = 28, então a equação tem solução em [-1, 3]. Para a = -1 e b = 2, f(-1) = -5 e f(2) = 6, então a equação tem solução em [-1, 2]. Para a = 0 e b = 3, f(0) = -2 e f(3) = 28, então a equação tem solução em [0, 3]. Para a = 0 e b = 2, f(0) = -2 e f(2) = 6, então a equação tem solução em [0, 2]. Para a = 1 e b = 3, f(1) = 3 e f(3) = 28, então a equação tem solução em [1, 3]. Para a = 1 e b = 2, f(1) = 3 e f(2) = 6, então a equação tem solução em [1, 2]. Para a = 2 e b = 3, f(2) = 6 e f(3) = 28, então a equação tem solução em [2, 3]. Portanto, o maior valor de a é 0 e o menor valor de b é 2, de modo que a equação tenha solução em [a, b].