Questão 4. (2.0 pontos) Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação √ 3x− 2 = 5− 2x− x3. possui pelo menos uma solução ...

Para mostrar que a equação √(3x-2) = 5 - 2x - x³ possui pelo menos uma solução real, podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário. Primeiro, definimos a função f(x) = √(3x-2) + 2x + x³ e notamos que a equação dada é equivalente a f(x) = 5. Em seguida, observamos que f é uma função contínua em seu domínio, ou seja, f é contínua no intervalo (2/3, +∞). Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos encontrar pontos a e b para os quais f(a) < 5 e f(b) > 5. Podemos escolher, por exemplo, a = 1 e b = 2. De fato, sendo f contínua para x > 2/3 e f(1) = √(3(1)-2) + 2(1) + 1³ = 4 e f(2) = √(3(2)-2) + 2(2) + 2³ = 14, temos que f(a) < 5 e f(b) > 5. Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, concluímos que a equação √(3x-2) = 5 - 2x - x³ possui pelo menos uma solução real no intervalo (1, 2).