Resolva a seguinte equação diferencial linear: y′+tg(x)y=cos(x)

Para resolver essa equação diferencial linear, podemos utilizar o método do fator integrante. Primeiro, precisamos identificar os coeficientes da equação: y′ + tg(x)y = cos(x) O coeficiente de y é tg(x), que é uma função de x. Para tornar a equação mais fácil de resolver, vamos multiplicar ambos os lados por um fator integrante, que é uma função que torna o coeficiente de y em uma função integrável. Neste caso, o fator integrante é dado por: μ(x) = e^(∫tg(x)dx) μ(x) = e^(ln|sec(x)|) = |sec(x)| Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator integrante: |sec(x)|y′ + |sec(x)|tg(x)y = |sec(x)|cos(x) Agora, podemos escrever o lado esquerdo da equação como a derivada do produto de y e o fator integrante: d/dx (|sec(x)|y) = |sec(x)|cos(x) Integrando ambos os lados em relação a x, temos: |sec(x)|y = ∫|sec(x)|cos(x)dx Podemos resolver a integral do lado direito usando integração por partes: u = cos(x) dv = |sec(x)|dx du = -sin(x) dx v = ln|sec(x)| ∫|sec(x)|cos(x)dx = cos(x)ln|sec(x)| + ∫sin(x)ln|sec(x)|dx Podemos resolver a segunda integral usando integração por partes novamente: u = ln|sec(x)| dv = sin(x)dx du = sec(x)tan(x) dx v = -cos(x) ∫sin(x)ln|sec(x)|dx = -cos(x)ln|sec(x)| - ∫cos(x)sec(x)tan(x)dx Agora, podemos substituir essa integral na equação original: |sec(x)|y = cos(x)ln|sec(x)| - cos(x)ln|sec(x)| + sen(x) + C Simplificando, temos: y = (sen(x) + C)/|sec(x)| Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y = sen(x)cos(x) + Ccos(x)