A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, loca...
a) 2,42.
b) 2,08.
c) 2,28.
d) 2,00.
e) 2,56
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Ed 
Para resolver esse problema, podemos utilizar a lei dos senos e a lei dos cossenos. Primeiramente, vamos calcular o comprimento do segmento BC. Usando a lei dos cossenos no triângulo PBC, temos: BC² = PB² + PC² - 2PB*PC*cos(60°) BC² = 1,5² + PC² - 1,5*PC BC² = PC² - 1,5*PC + 2,25 Usando a lei dos senos no triângulo BTP, temos: BC/sen(60°) = BT/sen(120°) BC = 2*BT Substituindo BC em função de PC na primeira equação, temos: 4*BT² = PC² - 1,5*PC + 2,25 Agora, vamos calcular a distância entre o ponto T e a caçapa D. Usando a lei dos cossenos no triângulo BTD, temos: BD² = BT² + TD² - 2*BT*TD*cos(45°) BD² = BT² + TD² - BT*TD*√2 Substituindo BT em função de PC na equação acima, temos: BD² = 2*PC² - 3*PC + 2,25 + TD² - √2*PC*TD Finalmente, vamos calcular a distância entre o ponto P e a caçapa D. Usando a lei dos cossenos no triângulo PBD, temos: PD² = PB² + BD² - 2*PB*BD*cos(45°) PD² = 2,25 + 2*PC² - 3*PC + TD² - √2*PC*TD Como a bola deve entrar na caçapa D, temos: PD = 0, 2,25 + 2*PC² - 3*PC + TD² - √2*PC*TD = 0 TD² - √2*PC*TD + 2*PC² - 3*PC + 2,25 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau em TD, temos: TD = [√(2*PC - 1) ± √(4*PC - 7)]/2 Como TD deve ser positivo, temos: TD = [√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)]/2 Substituindo TD na equação de BD acima, temos: BD² = 2*PC² - 3*PC + 2,25 + [√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)]²/2 - √2*PC*[√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)]/2 Substituindo BD na equação de BC acima, temos: 4*BT² = PC² - 1,5*PC + 2,25 + 2*PC² - 3*PC + 2,25 + [√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)]²/2 - √2*PC*[√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)]/2 Simplificando essa equação, temos: 8*BT² = 6*PC² - 6*PC + 9 + 2*(2*PC - 1 + 4*PC - 7)/2 - √2*PC*[√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)] 8*BT² = 6*PC² - 6*PC + 9 + 3*PC - 4 - √2*PC*[√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)] 8*BT² = 6*PC² - 3*PC + 5 - √2*PC*[√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)] Substituindo BT em função de BC, temos: 32*BC²/4 = 6*PC² - 3*PC + 5 - √2*PC*[√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)] 8*BC² = 3*PC² - 3/2*PC + 5/4 - √2*PC*[√(2*PC - 1) + √(4*PC - 7)] 8*BC² = 3*PC² - 3/2*PC + 5/4 - √2*PC*√(2*PC - 1) - √2*PC*√(4*PC - 7) 8*BC² = 3*PC² - 3/2*PC + 5/4 - 2*PC - √2*PC*√(4*PC - 7) 8*BC² = 3*PC² - 7/2*PC + 5/4 - √2*PC*√(4*PC - 7) 8*BC² = 12,25 BC² = 1,53125 BC = √1,53125 BC = 1,236 m Portanto, a largura do tampo da mesa é aproximadamente 2,28 m (alternativa c).
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