4. (FUVEST – 2013) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a lei dos cossenos e a lei de senos. Primeiro, vamos encontrar o comprimento do segmento BD. Utilizando a lei dos cossenos no triângulo PBT, temos: $BT^2 = PB^2 + PT^2 - 2 \cdot PB \cdot PT \cdot \cos(\angle BTP)$ $BT^2 = 1,5^2 + PT^2 - 2 \cdot 1,5 \cdot PT \cdot \cos(60^\circ)$ $BT^2 = 2,25 + PT^2 - 1,5 \cdot PT$ Da mesma forma, utilizando a lei dos cossenos no triângulo PCT, temos: $CT^2 = PC^2 + PT^2 - 2 \cdot PC \cdot PT \cdot \cos(\angle CTP)$ $CT^2 = 2,25 + PT^2 - 1,5 \cdot PT$ Note que $BT = CT$, pois a bola segue em linha reta após a colisão com BC. Portanto, podemos igualar as duas expressões acima: $2,25 + PT^2 - 1,5 \cdot PT = 2,25 + PT^2 - 1,5 \cdot PT$ $3 \cdot PT = 2,25$ $PT = 0,75$ Agora, podemos utilizar a lei de senos no triângulo PBD para encontrar o comprimento de BD: $\frac{BD}{\sin(\angle BPD)} = \frac{PB}{\sin(\angle PBD)}$ $\frac{BD}{\sin(45^\circ)} = \frac{1,5}{\sin(135^\circ)}$ $BD = \frac{1,5 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(135^\circ)} \approx 1,06$ Finalmente, a largura da mesa é dada por: $L = BD \cdot \cos(45^\circ) \approx 0,75 \cdot 0,707 \approx 0,53$ Multiplicando por 4, temos: $L = 4 \cdot 0,53 \approx 2,12$ Portanto, a alternativa correta é a letra B) 2,08.