P(x) é um polinômio do 2° grau e K um número real não nulo. Se P(k) = 0, P(-k) = 2k2 e P(x) = P(k – x) para todo x real, então o resto da divisão d...

Para encontrar o resto da divisão de P(x) por x - 1, podemos usar o Teorema do Resto. Sabemos que P(k) = 0, então k é uma raiz de P(x). Além disso, P(-k) = 2k², o que significa que (-k) também é uma raiz de P(x). Como P(x) é um polinômio do 2º grau, podemos escrevê-lo na forma: P(x) = a(x - k)(x + k) Onde "a" é o coeficiente do termo de maior grau. Como P(x) = P(k - x), podemos substituir x por (k - x) na equação acima e obter: P(k - x) = a(k - k + x)(k + k - x) P(k - x) = a(2k - x)(x) Sabemos que P(k - x) = P(x), então podemos igualar as duas equações acima e obter: a(x - k)(x + k) = a(2k - x)(x) a(x² - k²) = a(2kx - x²) a(x² - 2kx + k²) = 0 Como k é não nulo, podemos dividir toda a equação por k² e obter: a(x/k - k/x - 2) = 0 Isso significa que as raízes de P(x) são k, -k e 2k/x. Como P(x) é um polinômio do 2º grau, a única possibilidade é que: P(x) = a(x - k)(x + k) = a(x² - k²) Agora podemos usar o Teorema do Resto para encontrar o resto da divisão de P(x) por x - 1. Temos: P(1) = a(1 - k)(1 + k) = a(1 - k²) P(x) = (x - 1)Q(x) + R Onde Q(x) é o quociente da divisão e R é o resto. Podemos encontrar R substituindo x = 1 na equação acima: R = P(1) - (1 - 1)Q(1) = P(1) = a(1 - k²) Substituindo a expressão para a em P(x), temos: P(x) = (x - k)(x + k) a(x² - k²) = (x - k)(x + k) Substituindo x = 1, temos: R = a(1 - k²) = (1 - k)(1 + k) = 1 - k² Portanto, o resto da divisão de P(x) por x - 1 é igual a 1 - k². A resposta correta é a letra D) 1 - K.