) P(x) é um polinômio do 2° grau e K um número real não nulo. Se P(k) = 0, P(-k) = 2k2 e P(x) = P(k – x) para todo x real, então o resto da divisão...

Para encontrar o resto da divisão de P(x) por x - 1, podemos usar o Teorema do Resto. Sabemos que P(k) = 0, então k é uma raiz de P(x). Além disso, P(x) = P(k - x) para todo x real, o que significa que o gráfico de P(x) é simétrico em relação a x = k/2. Podemos usar essas informações para escrever P(x) na forma fatorada: P(x) = a(x - k)(x - r), onde r é a outra raiz de P(x). Usando P(-k) = 2k², podemos encontrar o valor de a: P(-k) = a(-k - k)(-k - r) = 2k² a(k + r)(2k + r) = -2k Substituindo k = r/2 (porque o gráfico é simétrico em relação a x = k/2), temos: a(r + r/2)(2r + r/2) = -2r/2 a(3r/2)(5r/2) = -r a = -2/15 Agora podemos escrever P(x) na forma completa: P(x) = (-2/15)(x - k)(x - r) Para encontrar o resto da divisão de P(x) por x - 1, podemos usar o Teorema do Resto: P(1) = (-2/15)(1 - k)(1 - r) O resto da divisão de P(x) por x - 1 é igual a P(1). Para encontrar r, podemos usar a equação P(k) = 0: (-2/15)(k - k)(k - r) = 0 k - r = 0 r = k Agora podemos substituir r por k na equação para P(1): P(1) = (-2/15)(1 - k)(1 - k) P(1) = (-2/15)(k - 1)² Portanto, a resposta correta é letra E) -2 - 4k.