ômio do 2° grau e K um número real não nulo. Se P(k) = 0, P(-k) = 2k2 e P(x) = P(k – x) para todo x real, então o resto da divisão de P(x) por x – ...

Vamos começar encontrando a forma geral do polinômio P(x). Sabemos que P(k) = 0, então (x - k) é um fator de P(x). Além disso, P(-k) = 2k², então (-k - k) = -2k é um fator de P(x). Portanto, podemos escrever: P(x) = a(x - k)(x + 2k) Agora, podemos usar a propriedade P(x) = P(k - x) para encontrar o valor de a: P(x) = a(x - k)(x + 2k) P(k - x) = a(k - x - k)(k - x + 2k) = a(-x)(3k - x) Como P(x) = P(k - x), temos: a(x - k)(x + 2k) = a(-x)(3k - x) Substituindo x = k, temos: a(k - k)(k + 2k) = a(-k)(3k - k) 3ak² = 2ak a = 0 ou a = 2/3k Mas a não pode ser zero, caso contrário, P(x) seria identicamente zero, o que não é o caso. Portanto, a = 2/3k. Agora, podemos escrever P(x) na forma completa: P(x) = (2/3k)(x - k)(x + 2k) Para encontrar o resto da divisão de P(x) por x - 1, podemos usar o Teorema do Resto: P(1) = (2/3k)(1 - k)(1 + 2k) = (2/3k)(2k² - k - 1) Portanto, o resto da divisão de P(x) por x - 1 é igual a 2k² - k - 1. A resposta correta é a alternativa E).