Determine o valor da integral sen 3 t cos t dt c ó é 4 t 4 - c ó é 2 t 2 + k , k real c ó é 4 t 2 + c ó é 2 t 4 + k , k real 2 c ó é 5 t 3 - c ó é ...

Para resolver essa integral, podemos utilizar integração por partes. Vamos escolher u = sen(3t) e dv = cos(t)dt. Então, du/dt = 3cos(3t) e v = sen(t). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫sen(3t)cos(t)dt = sen(3t)sen(t) - ∫3cos(3t)sen(t)dt Agora, escolhemos u = 3cos(3t) e dv = sen(t)dt. Então, du/dt = -9sen(3t) e v = -cos(t). Aplicando novamente a fórmula de integração por partes, temos: ∫3cos(3t)sen(t)dt = -3cos(3t)cos(t) + ∫9sen(3t)cos(t)dt Escolhendo u = 9sen(3t) e dv = cos(t)dt, temos du/dt = 27cos(3t) e v = sen(t). Aplicando mais uma vez a fórmula de integração por partes, temos: ∫9sen(3t)cos(t)dt = 9sen(3t)sen(t) - ∫27cos(3t)sen(t)dt Substituindo na primeira equação, temos: ∫sen(3t)cos(t)dt = sen(3t)sen(t) - (-3cos(3t)cos(t) + 9sen(3t)sen(t) - ∫27cos(3t)sen(t)dt) Simplificando, temos: ∫sen(3t)cos(t)dt = sen(3t)sen(t) + 3cos(3t)cos(t) - 9sen(3t)sen(t) + 27∫cos(3t)sen(t)dt Agora, escolhemos u = cos(3t) e dv = sen(t)dt. Então, du/dt = -3sen(3t) e v = -cos(t). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫cos(3t)sen(t)dt = -cos(3t)cos(t) + ∫3sen(3t)cos(t)dt Substituindo na equação anterior, temos: ∫sen(3t)cos(t)dt = sen(3t)sen(t) + 3cos(3t)cos(t) - 9sen(3t)sen(t) + 27(-cos(3t)cos(t) + 3sen(3t)sen(t) - ∫3sen(3t)cos(t)dt) Simplificando novamente, temos: ∫sen(3t)cos(t)dt = sen(3t)sen(t) + 3cos(3t)cos(t) - 9sen(3t)sen(t) - 27cos(3t)cos(t) + 81sen(3t)sen(t) - 81∫sen(3t)cos(t)dt Isolando a integral, temos: ∫sen(3t)cos(t)dt + 81∫sen(3t)cos(t)dt = sen(3t)sen(t) + 3cos(3t)cos(t) - 9sen(3t)sen(t) - 27cos(3t)cos(t) + 81sen(3t)sen(t) Somando as integrais, temos: 82∫sen(3t)cos(t)dt = 75sen(3t)sen(t) - 24cos(3t)cos(t) Dividindo por 82, temos: ∫sen(3t)cos(t)dt = (75/82)sen(3t)sen(t) - (12/41)cos(3t)cos(t) Portanto, o valor da integral é: ∫sen(3t)cos(t)dt = (75/82)sen(3t)sen(t) - (12/41)cos(3t)cos(t) + C, onde C é a constante de integração.