Suponha f derivável no intervalo I. A afirmação: “f é estritamente crescente em I se, e somente se, f′(x) > 0 em I” é falsa ou verdadeira? Justifiq...

A afirmação é verdadeira. Se f é estritamente crescente em I, então para quaisquer x1 e x2 em I, com x1 < x2, temos f(x1) < f(x2). Pela definição de derivada, temos que f′(x) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x. Como f é estritamente crescente, a inclinação da reta tangente é positiva em todos os pontos de I, ou seja, f′(x) > 0 em I. Por outro lado, se f′(x) > 0 em I, então f é crescente em I. Para mostrar que f é estritamente crescente, suponha que existam x1 e x2 em I, com x1 < x2, tais que f(x1) = f(x2). Pelo Teorema do Valor Médio, existe um ponto c em (x1, x2) tal que f′(c) = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1) = 0, o que contradiz a hipótese de que f′(x) > 0 em I. Portanto, f é estritamente crescente em I.