EXEMPLO 5. Determine o tempo necessário para se esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m, cheio de água, admitindo que a água se esco...

Para determinar o tempo necessário para esvaziar o tanque, podemos utilizar a equação de Torricelli, que relaciona a velocidade de escoamento da água com a altura da coluna de água no tanque: v = sqrt(2gh) Onde: v = velocidade de escoamento da água g = aceleração gravitacional (g = 10 m/s²) h = altura da coluna de água no tanque A área do orifício é dada por: A = πr² A = π(0,1)² A = 0,0314 m² A vazão de água é dada por: Q = Av Q = 0,0314 x sqrt(2gh) A quantidade de água que sai do tanque em um intervalo de tempo dt é dada por: dV = Q x dt dV = 0,0314 x sqrt(2gh) x dt A variação de volume no tanque em um intervalo de tempo dt é dada por: dV = Adh dV = πr²dh dV = π(2)²dh dV = 12,56dh Igualando as duas expressões para dV, temos: 0,0314 x sqrt(2gh) x dt = 12,56dh Substituindo h por 5 - dh (pois a altura da coluna de água diminui com o tempo), temos: 0,0314 x sqrt(2g(5 - dh)) x dt = 12,56dh Isolando dt, temos: dt = (12,56dh) / (0,0314 x sqrt(2g(5 - dh))) Integrando ambos os lados da equação, temos: t = ∫[0,5] (12,56dh) / (0,0314 x sqrt(2g(5 - h))) Resolvendo a integral, temos: t = 126,4 s Portanto, o tempo necessário para esvaziar o tanque é de aproximadamente 126,4 segundos.