Determine o tempo necessário para se esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m, cheio de água, admitindo que a água se escoe através d...

Para determinar o tempo necessário para esvaziar o tanque, podemos utilizar a equação de Torricelli, que relaciona a velocidade de saída do líquido com a altura da coluna de líquido no tanque. Vamos considerar que a altura da coluna de líquido no tanque é h(t) e que a velocidade de saída do líquido é v(t). A área da seção transversal do orifício é A = πr², onde r = 0,1 m é o raio do orifício. O volume de líquido que sai do tanque em um intervalo de tempo Δt é dado por: ΔV = A * v(t) * Δt O volume de líquido no tanque é dado por: V(t) = πr² * h(t) A taxa de variação do volume de líquido no tanque é dada por: dV/dt = πr² * dh/dt Igualando as duas expressões para ΔV e dV/dt, temos: A * v(t) = πr² * dh/dt Substituindo os valores numéricos, temos: π * 0,1² * v(t) = π * 2² * dh/dt v(t) = 40 * dh/dt A velocidade de saída do líquido é proporcional à taxa de variação da altura da coluna de líquido no tanque. Podemos integrar essa equação para obter a altura da coluna de líquido em função do tempo: ∫(1/h)dh = ∫(1/40)dt ln|h| = (1/40)t + C h(t) = e^(1/40t+C) = Ce^(1/40t) A constante C pode ser determinada a partir da condição inicial h(0) = 5 m: h(0) = C = 5 Portanto, a altura da coluna de líquido no tanque é dada por: h(t) = 5e^(1/40t) Para determinar o tempo necessário para esvaziar o tanque, basta encontrar o valor de t para o qual h(t) = 0: 0 = 5e^(1/40t) ln(0) = ln(5) + (1/40)t t = -40ln(5) ≈ -55,2 s Como o tempo não pode ser negativo, concluímos que o tanque nunca se esvaziará completamente.