Dê exemplo de uma função definida em ℝ e que seja contínua apenas em -1, 0, 1. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Just...

Exemplo de função definida em ℝ e que seja contínua apenas em -1, 0, 1: f(x) = |x| - 1, se x ∈ [-1, 1] f(x) = 0, se x ∉ [-1, 1] Para que a função seja contínua no ponto x = 1, o limite à esquerda e à direita de f(x) em x = 1 deve ser igual a f(1). Temos: lim x → 1- f(x) = f(1-) = f(1) = 0 lim x → 1+ f(x) = f(1+) = |1| - 1 = 0 Portanto, L = 0. A função já é contínua em x = 1. Para que a função seja contínua em x = -1, temos: lim x → -1+ f(x) = f(-1+) = |-1| - 1 = 0 lim x → -1- f(x) = f(-1-) = -|-1| - 1 = -2 Para que a função seja contínua em x = -1, f(-1) deve ser igual a -2. Portanto, f(-1) = -2. Para mostrar que existe δ > 0 tal que para todo x ∈ Df 2 - δ < x < 2 + δ ⇒ f(x) > 7, podemos usar o fato de que f é contínua em 2 e f(2) = 8. Podemos escolher δ = min{1, 6 - f(2)}, então para todo x ∈ Df 2 - δ < x < 2 + δ, temos: |f(x) - f(2)| < ε, onde ε = 1 Logo, f(x) > f(2) - ε = 8 - 1 = 7. Para provar que existe r > 0 tal que para todo x ∈ Df, se |x - 1| < r, então |f(x) - f(1)| < 1, podemos usar o fato de que f é contínua em 1 e f(1) = 2. Podemos escolher r = min{1, 1/2}, então para todo x ∈ Df, se |x - 1| < r, temos: |f(x) - f(1)| < ε, onde ε = 1 Logo, f(x) > f(1) - ε = 2 - 1 = 1.