Seja α ≠ 0 um real fixo. Verifique que Calcule. Seja α ≠ 0 um real fixo. Verifique que Calcule. Determine a função y = y (x), x > 0, tal que Uma p...

Para verificar que α ≠ 0 é um real fixo, basta mostrar que α é uma constante, ou seja, não depende da variável t. Assim, podemos afirmar que α é um real fixo. Para calcular a posição da partícula no instante t, podemos usar a fórmula da posição: x(t) = x0 + ∫v(t)dt Substituindo os valores, temos: x(t) = 2 + ∫(t + 3)dt x(t) = 2 + (t²/2 + 3t) + C x(t) = t²/2 + 3t + C + 2 Para determinar a constante C, usamos a informação de que a partícula está na posição x = 2 no instante t = 0: x(0) = 2 C + 2 = 2 C = 0 Assim, a função da posição da partícula é: x(t) = t²/2 + 3t + 2 Para determinar a posição da partícula no instante t = 2, basta substituir t por 2 na função da posição: x(2) = 2²/2 + 3(2) + 2 x(2) = 9 A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a(t) = v'(t) = 1 Para determinar o instante em que a partícula estará mais próxima da origem, podemos usar a fórmula da distância: d(t) = |x(t) - 0| = |x(t)| Substituindo os valores, temos: d(t) = |2t - 3| Para encontrar o mínimo dessa função, podemos derivá-la e igualar a zero: d'(t) = 2t - 3 = 0 t = 3/2 Assim, a partícula estará mais próxima da origem no instante t = 3/2. Para determinar a posição x = x(t) da partícula, sabendo que: x'(t) = 2t + 1 x(0) = x0 Podemos integrar a velocidade para obter a posição: x(t) = ∫(2t + 1)dt x(t) = t² + t + C Para determinar a constante C, usamos a informação de que a partícula está na posição x = x0 no instante t = 0: x(0) = x0 C = x0 Assim, a função da posição da partícula é: x(t) = t² + t + x0 Para esboçar o gráfico da função y = y(x), x ∈ ℝ, sabendo que: y(x) = x² - 4x + 3 Podemos completar o quadrado para encontrar o vértice da parábola: y(x) = (x - 2)² - 1 Assim, o vértice da parábola é (2, -1) e a concavidade é para cima. Podemos esboçar o gráfico da função a partir dessas informações. Para esboçar o gráfico da função y = y(x), x ∈ ℝ, sabendo que: y(x) = |x - 2| Podemos dividir a função em duas partes, uma para x < 2 e outra para x ≥ 2: y(x) = -(x - 2), x < 2 y(x) = x - 2, x ≥ 2 Assim, a função é simétrica em relação ao ponto (2, 0) e tem um ponto de descontinuidade em x = 2. Podemos esboçar o gráfico da função a partir dessas informações.