Funções Polinomiais 1. (Enem 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a fi...

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada por f(x) = ax² + bx + c, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Como o ponto V representa o vértice da parábola, temos que a coordenada x do vértice é dada por x = -b/2a. Como o vértice está localizado sobre o eixo x, temos que a coordenada y do vértice é igual a zero. Portanto, temos que: x = -b/2a 0 = a(x - h)² + k Substituindo x = -b/2a na segunda equação, temos: 0 = a(-b/2a - h)² + k 0 = ab²/4a² - 2bh/2a + ah² + k 0 = b²/4a - bh/a + ah² + k Como o ponto V está sobre o eixo x, temos que a altura do líquido contido na taça é igual a C = k. Substituindo k por C na equação acima, temos: 0 = b²/4a - bh/a + ah² + C Como a taça foi gerada pela rotação da parábola em torno do eixo z, temos que a altura do líquido contido na taça é igual à altura da parábola no ponto x = 2. Substituindo x = 2 na equação acima, temos: 0 = b²/4a - 2bh/a + 4a + C Multiplicando toda a equação por 4a, temos: 0 = b² - 8bh + 16a² + 4aC Como o ponto V representa o vértice da parábola, temos que a reta tangente à parábola no ponto V é paralela ao eixo y. Portanto, a derivada da função f(x) no ponto V é igual a zero. Temos que: f(x) = ax² + bx + c f'(x) = 2ax + b Substituindo x = -b/2a na equação acima, temos: f'(-b/2a) = 0 2a(-b/2a) + b = 0 -b + 2a(-b/2a) = 0 -b + b = 0 Portanto, temos que b = 0. Substituindo b = 0 na equação b² - 8bh + 16a² + 4aC = 0, temos: 0 = 16a² + 4aC Dividindo toda a equação por 4a, temos: 0 = 4a + C Substituindo C = 6, temos: 0 = 4a + 6 -6 = 4a a = -3/2 Substituindo a e b na equação b² - 8bh + 16a² + 4aC = 0, temos: 0 = 16(9/4) + 4(-3/2)(6) 0 = 36 - 36 0 = 0 Portanto, a altura do líquido contido na taça é C = 6 centímetros. A resposta correta é a alternativa E).