7) A temperatura em um forno industrial evolui no tempo conforme o seguinte modelo simplificado: Calcule a temperatura para as condições iniciais ...

Para resolver esse problema, é necessário aplicar a Transformada de Laplace. Primeiramente, é necessário encontrar a equação diferencial que representa o modelo simplificado da evolução da temperatura no forno industrial. A partir da equação diferencial, aplica-se a Transformada de Laplace e resolve-se a equação resultante para encontrar a temperatura para as condições iniciais dadas. A equação diferencial que representa o modelo simplificado da evolução da temperatura no forno industrial é: y''(t) + 2y'(t) + 5y(t) = 0 Aplicando a Transformada de Laplace, temos: L{y''(t)} + 2L{y'(t)} + 5L{y(t)} = 0 s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2sY(s) - y(0) + 5Y(s) = 0 s^2Y(s) + 2sY(s) + 5Y(s) = sy(0) + y'(0) + y(0) (s^2 + 2s + 5)Y(s) = s(30) + 40 + 30 (s^2 + 2s + 5)Y(s) = 30s + 70 Y(s) = (30s + 70)/(s^2 + 2s + 5) Para encontrar a temperatura para as condições iniciais dadas, é necessário aplicar a Transformada Inversa de Laplace. A solução é dada por: y(t) = L^-1{Y(s)} y(t) = L^-1{(30s + 70)/(s^2 + 2s + 5)} y(t) = 22e^(-t)sin(2t) + 8e^(-t)cos(2t) Portanto, a temperatura para as condições iniciais dadas é: y(0) = 22 + 8 = 30°C y'(0) = -22 + 16 = -6°C/min Assim, a temperatura no forno industrial para as condições iniciais dadas é: y(t) = 22e^(-t)sin(2t) + 8e^(-t)cos(2t) + 30°C