7) A temperatura em um forno industrial evolui no tempo conforme o seguinte modelo simplificado: 023 2 2 =+∂∂−∂∂ytytyt Calcule a temperatura para...

Para resolver esse problema, precisamos aplicar a Transformada de Laplace. Aplicando a transformada na equação dada, temos: L{∂²y/∂t²} + 2L{∂y/∂t} + 3L{y} = 0 Substituindo as condições iniciais, temos: L{y(0)} = 30 L{y'(0)} = 40 Resolvendo a equação característica, temos: s² + 2s + 3 = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos: s = (-2 ± √(2² - 4*1*3)) / 2 s = -1 ± j√2 Portanto, a solução da equação diferencial é dada por: y(t) = e^(-t) [C1 cos(√2t) + C2 sin(√2t)] Aplicando as condições iniciais, temos: L{y(t)} = Y(s) L{y(0)} = 30 = Y(0) L{y'(0)} = 40 = sY(0) + C1 Substituindo s = -1 + j√2 e resolvendo o sistema de equações, temos: C1 = 40 - 30s = 40 + 30(1 - j√2) = 70 + 30j√2 C2 = (30 - C1) / (√2) = (30 - 70 - 30j√2) / (√2) = -20√2 - 25j Portanto, a solução da equação diferencial é: y(t) = e^(-t) [ (70 + 30j√2) cos(√2t) + (-20√2 - 25j) sin(√2t) ] Substituindo t = 2, temos: y(2) = e^(-2) [ (70 + 30j√2) cos(2√2) + (-20√2 - 25j) sin(2√2) ] y(2) ≈ -0,0003 + 0,0005j Portanto, a temperatura para as condições iniciais dadas é de aproximadamente -0,0003 + 0,0005j.