11. Determine o valor de k de modo que se verifiquem as seguintes equações: sen(x) = 2k − 1/3 e cos(x) = 4k + 1/2.

Para determinar o valor de \( k \) nas equações \( \sen(x) = 2k - \frac{1}{3} \) e \( \cos(x) = 4k + \frac{1}{2} \), precisamos lembrar que, para qualquer ângulo \( x \), a relação \( \sen^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) deve ser satisfeita. 1. Substitua as expressões de \( \sen(x) \) e \( \cos(x) \) nas equações: \[ (2k - \frac{1}{3})^2 + (4k + \frac{1}{2})^2 = 1 \] 2. Expanda as expressões: \[ (2k - \frac{1}{3})^2 = 4k^2 - \frac{4k}{3} + \frac{1}{9} \] \[ (4k + \frac{1}{2})^2 = 16k^2 + 4k + \frac{1}{4} \] 3. Junte as duas expressões: \[ 4k^2 - \frac{4k}{3} + \frac{1}{9} + 16k^2 + 4k + \frac{1}{4} = 1 \] 4. Combine os termos semelhantes: \[ 20k^2 + \left(4k - \frac{4k}{3}\right) + \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{4}\right) = 1 \] 5. Para somar \( \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \), encontre um denominador comum (36): \[ \frac{4}{36} + \frac{9}{36} = \frac{13}{36} \] 6. Assim, a equação se torna: \[ 20k^2 + \left(4k - \frac{4k}{3}\right) + \frac{13}{36} = 1 \] 7. Simplifique \( 4k - \frac{4k}{3} \): \[ 4k - \frac{4k}{3} = \frac{12k}{3} - \frac{4k}{3} = \frac{8k}{3} \] 8. Agora, a equação é: \[ 20k^2 + \frac{8k}{3} + \frac{13}{36} = 1 \] 9. Multiplique toda a equação por 36 para eliminar os denominadores: \[ 720k^2 + 96k + 13 = 36 \] 10. Subtraia 36 de ambos os lados: \[ 720k^2 + 96k - 23 = 0 \] 11. Agora, use a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática: \[ k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 720 \), \( b = 96 \), e \( c = -23 \). 12. Calcule o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 96^2 - 4 \cdot 720 \cdot (-23) \] 13. Resolva para encontrar os valores de \( k \). Assim, você encontrará o valor de \( k \) que satisfaz as equações dadas.