C1 Lista de Monitoria 1 - 2022_4

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Cálculo I - 2022-4 
Prática de Exercícios 1 
Lista de Monitoria
1. Determine as soluções reais das equações abaixo:
a) 2x.(4− x)− 12 − 3
√
4− x = 0
b)
2x
x+ 1
=
2x− 1
x
c) 3|x− 4| = 10
2. Resolva a desigualdade indicada e represente a solução em termos de intervalos.
a) −4 ≤ 6x+ 8 ≤ 8
b) (x− 4)(x− 6) < 0
c) 2x2 + x− 1 ≥ 0
d) x2 + 5x+ 6 ≤ 0
e) (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) < 0
f) x3 > (x− 2)2
g)
x− 3
x+ 5
> 0
h)
1
x
≤ 2
x+ 1
− 1
x+ 2
i)
x+ 3
3− x
≥ x
x+ 1
j)
x2 − 3x− 4
x2 − 4x+ 5
< 0
k) 1 ≤ 2x
1− x
l) |x+ 5| ≥ 5
3. Encontre o domínio da função dada:
a) f(x) =
√
4x− 2.
b) f(x) =
2x√
3x− 1
.
c) f(x) =
2x− 5
x(x− 3)
.
d) f(x) =
x+ 1
x2 − 2x− 1
.
e) f(x) =
√
x(4− x).
f) f(x) =
√
3− x
x+ 2
.
4. Ache
f(x+ h)− f(x)
h
, onde h ̸= 0, se:
a) f(x) = −3x2 + 2x− 6
b) f(x) =
√
x
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Universidade Federal do Pará
Cálculo I - 2022-2 Atividade de Monitoria 1
5. Na fabricação de uma caixa, de formato cilíndrico, e volume 1cm3, utilizam-se nas laterais e
no fundo, uma material que custa R$1.000, 00 o metro quadrado e na tampa um outro material
que custa R$2.000, 00 o metro quadrado. Expresse o custo C do material, em função do raio
r da base.
6. Um cilindro circular reto está inscrito numa esfera de raio r dado. Expresse o volume V do
cilindro em função da sua altura h.
7. Um retângulo tem um perímetro de 20 metros. Expresse a área do retângulo como uma
função do comprimento de um de seus lados.
8. Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 4 cosx
b) f(x) = 2− sin(x
2
)
c) f(x) = 2 cos
x
3
− 1
d) f(x) =
tg x
2
e) f(x) = −3 cos(x− π
3
)
f) f(x) = sen x+ cosx
9. Determine o valor da expressão:
y = cos(−9π
2
)− 3 tg(3π) + sen(−5π
2
) .
10. Sejam x, y ∈ R. Se x+ y = π/2 e x− y = π/6, calcule o valor de t, sendo:
t =
senx+ sen y
cosx− cos y
.
11. Determine o valor de k de modo que se verifiquem as seguintes equações:
sen(x) =
2k − 1
3
e cos(x) =
4k + 1
2
.
12. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
a) (1− tg2(x))(1− sen2(x)) = 1
b) tg(x) + cotg(x) = tg(x) · cossec2(x)
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Cálculo I - 2022-2 Atividade de Monitoria 1
c)
cos(x)
sec(x)
+
sen(x)
cossec(x)
= 1
d) tg2(x) + cos2(x) = sec2(x)− sen2(x)
e) tg(x) · sen(2x) = 2 sen2(x)
f) sen(2x) · cotg(x) = cos(2x) + 1
13. Mostre que a seguinte equação é valida para todo x ∈ R:
(sen(x). tg(x))(cos(x) + cotg(x)) = (1− sen(x))(1 + cos(x)) .
14. Calcule sen(2x), sabendo que tg(x) + cotg(x) = 3.
15. Sabendo que
cos2(x) =
1
tg2(x)
e cos2(x) = 1− sen2(x) ,
expresse sen(x) em função de tg(x).
16. Sejam f(x) = x2 − 2 e g(x) = 2x + 1, e u = f ◦ g, v = g ◦ f , r = f ◦ f e s = g ◦ g
determine:
a) u(x), v(x), r(x) e s(x)
b) u(1)− 3v(2) + r(−1) · s(−2)
c) z(x) =
(s ◦ r)(x)
u(x)− v(x)
d) Qual é o domínio de z(x) ?
e) t(x) =
r(x) + s(x)
f(x).g(x)
f) Qual é o domínio de t(x)?
17. Considere as funções f(x) = sen(x), g(x) = ex, h(x) = x2 e p(x) = 2x. Reescreva cada
uma das expressões abaixo utilizando as funções f, g, h, p.
Exemplo: a expressão
e2x + sen(x2)
4x
pode ser escrita como
g(p(x)) + f(h(x))
2p(x)
.
a) 5x4 + 6x2 + sen(2x)
b)
2 sen2(x)
ex2
− sen(ex)
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c) arcsen(x) · ln(x) +
√
2x, x ∈ (0, 1]
18. Qual o domínio da função real f(g(x)), sabendo que f(x) =
√
x e g(x) =
x2 + x
x+ 2
?
19. Sejam as funções f e g de R em R definidas por f(x) = x2− 4x+10 e g(x) = −5x+20.
qual é o valor da expressão y =
[f(4)]2 − g(f(4))
f(0)− g(f(0))
?
20. Para um número real fixo a, a função f(x) = ax − 2 é tal que f(f(1)) = −3. Qual é o
valor de a?
21. Na função real f(x) = ax+ b, com a e b reais e a ̸= 0, sabe-se que f(x2 − 1) = 3x2 − 2
para qualquer x real. Mostre que: 2a− b = 5.
22. Na função f(x) = 2x − x, o valor de f ◦ f(0) + f ◦ f(1) + f ◦ f(2) + f ◦ f(3) é igual a?
23. seja a um numero real positivo e considere as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) =
−2x+ 9, definidas para todo numero real x.
a) Encontre o numero de soluções inteiras da inequação f(x) · g(x) > 0.
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) = g(f(x)) para todo numero real x.
24. Qual é a função inversa da função bijetora f : R \ {−4} → R \ {2} definada por f(x) =
2x− 3
x+ 4
?
25. Parte do gráfico de uma função real f , do 1° grau, está representada na figura a seguir.
Sendo g a função real definida por g(x) = x3 + x, o valor de f−1(g(1)) é ?
26. Seja f e g funções reais definidas por g(x) =
x+ 4
5
e f(x) =
x− 5
x
, com x ̸= 0. Assim,
a função f−1f(g(x)) é igual a ?
27. Seja f(x) =
1
x+ 1
uma função real definida para x > 0 e seja f−1(x) a sua inversa. Qual
é a solução da equação f(x) = f−1(x)?
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