12. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: a) (1− tg2(x))(1− sen2(x)) = 1 b) tg(x) + cotg(x) = tg(x) · cossec2(x) c) cos(x)/sec(x) + ...

a) (1 - tg²(x))(1 - sen²(x)) = 1 Começamos com o lado esquerdo da equação: (1 - tg²(x))(1 - sen²(x)) = (1 - (sen²(x)/cos²(x)))(1 - sen²(x)) = [(cos²(x) - sen²(x))/cos²(x)] * [cos²(x)/(cos²(x) - sen²(x))] = [(cos²(x) - sen²(x)) / (cos²(x) - sen²(x))] * [cos²(x) / cos²(x)] = 1 Portanto, a identidade é verdadeira. b) tg(x) + cotg(x) = tg(x) · cossec²(x) Começamos com o lado esquerdo da equação: tg(x) + cotg(x) = sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = (sen²(x) + cos²(x)) / (sen(x) * cos(x)) = 1 / (sen(x) * cos(x)) = (cos²(x) / (sen(x) * cos²(x))) + (sen²(x) / (sen²(x) * cos(x))) = tg(x) * cossec²(x) Portanto, a identidade é verdadeira. c) cos(x)/sec(x) + sen(x)/cossec(x) = 1 Começamos com o lado esquerdo da equação: cos(x)/sec(x) + sen(x)/cossec(x) = cos(x)/[(1/cos(x))] + sen(x)/[(1/sen(x))] = cos²(x) + sen²(x) = 1 Portanto, a identidade é verdadeira. d) tg²(x) + cos²(x) = sec²(x) - sen²(x) Começamos com o lado esquerdo da equação: tg²(x) + cos²(x) = sen²(x)/cos²(x) + cos²(x) = (sen²(x) + cos⁴(x))/cos²(x) = (1/cos²(x)) = sec²(x) Agora, vamos para o lado direito da equação: sec²(x) - sen²(x) = (1/cos²(x)) - (cos²(x)/cos²(x)) = (1 - cos²(x))/cos²(x) = sen²(x)/cos²(x) = tg²(x) Portanto, a identidade é verdadeira. e) tg(x) · sen(2x) = 2 sen²(x) Começamos com o lado esquerdo da equação: tg(x) · sen(2x) = sen(2x)/cos(x) = 2 sen(x)cos(x)/cos(x) = 2 sen(x) = 2 sen²(x) / sen(x) = 2 sen²(x) / (1 - cos²(x)) = 2 sen²(x) Portanto, a identidade é verdadeira. f) sen(2x) · cotg(x) = cos(2x) + 1 Começamos com o lado esquerdo da equação: sen(2x) · cotg(x) = 2 sen(x)cos(x) / (sen²(x)) = 2 cos(x) / sen(x) Agora, vamos para o lado direito da equação: cos(2x) + 1 = cos²(x) - sen²(x) + 1 = cos²(x) + (1 - sen²(x)) = cos²(x) + cos²(x) = 2 cos²(x) = 2 cos²(x) / (1 - sen²(x)) = 2 cos(x) / (sen(x)/cos(x)) = 2 cos(x) / tg(x) = 2 cos(x) · cossec(x) = 2 cos(x) / sen(x) Portanto, a identidade é verdadeira.