25. (Ufrj 99) Encontre as raízes de x¤ + 15x£ + 66x + 80 = 0, sabendo que são reais e estão em progressão aritmética.

Para encontrar as raízes de x² + 15x² + 66x + 80 = 0, sabendo que estão em progressão aritmética, podemos utilizar a seguinte estratégia: Sejam a, a + d e a + 2d as raízes em progressão aritmética. Então, temos: a + (a + d) + (a + 2d) = -15 3a + 3d = -15 a + d = -5 (a)(a + d)(a + 2d) = -80 a(a + d)(a + 2d) = -80 a(a + d)² - 5a(a + d) - 80 = 0 (a + d)²(a - 5) = 0 Como as raízes são reais, a + d ≠ 0. Portanto, a = 5. Substituindo na equação a + d = -5, temos: 5 + d = -5 d = -10 Logo, as raízes são 5, -5 e -15.